[科普中国]-谱分布函数

谱分布函数亦称谱函数，是平稳过程理论的重要概念。谱分布函数 F 不是惟一的，但它们之间最多相差一常数。由相关函数 R(𝜏) 与由协方差函数 𝛤(r) 确定的谱分布函数不同之处是它们对应的勒贝格-斯蒂尔杰斯测度在 0 点相差一常数。

简介在连续参数情形，设{X(t),t∈(-∞,∞)}是均方连续的宽平稳过程，R(𝜏)是它的相关函数。由R(T)的非负定性和波博赫纳-辛钦定理知，存在有界非降右连续函数F，使得，这时称函数 F 为过程的谱分布函数，也有文献称过程的协方差函数 𝛤(𝛾) 通过确定的有界非降右连续函数 F 为过程的谱分布函数。

在离散参数情形，设{X (t),t=0,±1,±2,…}是宽平稳序列，R(𝜏)是它的相关函数，则存在[-𝞹,𝞹]上有界非降右连续函数 F ，使得或使得协方差函数，这时称F为序列的谱分布函数。

谱分布函数 F 不是惟一的，但它们之间最多相差一常数。由相关函数 R(𝜏) 与由协方差函数 𝛤(r) 确定的谱分布函数不同之处是它们对应的勒贝格-斯蒂尔杰斯测度在 0 点相差一常数。1

相关函数谱分解[spectral decomposition of correlation function]

相关函数谱分解亦称相关函数谱表示（spectral representation of correlation function）或谱展式（spectral expansion equation）。将相关函数表示为其谱分布函数的傅里叶变式。设弱平稳过程 有相关函数 R(t)，则当 时有

而当 时有

此即相关函数的谱分解式，其中 是概率分布函数，称 为 的谱分布函数。特别地，当 ，称此 为谱密度函数（spectral density function）。相关函数的模可积是谱密度存在的一个充分条件。

自协方差的谱表示[spectral representation of autocovariance]

记平稳序列的自协方差函数为 ，根据谱表示理论，自协方差有如下的谱表示，即存在 上的非降的函数 F(x) 使得

称 F(x) 为自协方差 的谱分布函数。当F(x) 有密度函数时，即 时，则有

称 f(x) 为 的谱分布密度函数(spectral density function)。

根据谱理论，自协方差函数与谱分布是相互唯一确定的，所以它们所描述序列的特性，本质上是相同的。在实际应用中，主要是根据序列的样本数据 x(1)，x(2),...,x(T)，对谱分布的统计理论与方法有较长的历史，拥有较完备和丰富的文献资料，多年来已在诸多领域中被实际应用。2

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学