[科普中国]-双曲不动点

简介

在动力系统的研究中，双曲型平衡点或双曲型不动点是一个没有中心流形的固定点。在双曲点附近，二维无耗散系统的轨道类似于双曲线。这一般不成立。斯特罗加兹指出，“双曲线是一个不幸的名字 - 听起来应该是'鞍点'，但它已经成为标准。”几个属性拥有双曲线点附近1。

二维鞍点附近的轨道，双曲平衡的一个例子。

一个稳定流形和不稳定流存在，

发生阴影，

不变集上的动力学可以通过符号动力学来表示，

一个自然的措施可以被定义，

该系统结构稳定

地图如果 是一个C映射，p是一个不动点，那么当雅可比矩阵为p时，称p是双曲不动点 在单位圆上没有特征值。

阿诺德的猫图是固定点是双曲线的地图的一个例子2：

由于特征值给出

流量让 是具有临界点p的C向量场，即F（p）= 0，并且令J表示在p处的F的雅可比矩阵。如果矩阵Ĵ具有零个实部没有特征值然后p被称为双曲线。双曲不动点也可以称为双曲临界点或基本临界点。

哈特曼-格罗布曼定理指出，在一个动力系统的轨道结构附近双曲线平衡点是拓扑等同于轨道结构线性化的动态系统。

示例

考虑非线性系统

（0，0）是唯一的平衡点。平衡线性化

这个矩阵的特征值是对于α≠0的所有值，特征值具有非零实部。因此，这个平衡点是一个双曲平衡点。线性化系统的行为将类似于（0，0）附近的非线性系统。当α= 0时，系统在（0，0）处具有非双曲平衡。