[科普中国]-层同态

层同态(sheaf homomorphism)是两类之间的映射诱导出的一个群同态。设(F，π，X)与(F′，π′，X)是X上的两个群层，若连续映射A:F→F′满足π′A=π，且对所有x∈X，由A在茎上诱导出的映射Ax:Fx→Fx′是群同态，则称A为一个层同态。若层同态A是同胚，且A-1也是层同态，则称A为层同构1。

定义设X是一个拓扑空间， 表示X之所有开集之族，设 和 是X上的两个层，今对每个 有一个群同态 而且群同态族 对 且 有下面的交换图成立：

这样的 就称之为层 到层 内的层同态2。

我们一般用 表示。

相关概念层同构设 和 是拓扑空间X上两个层，今有层同态：

和层同态

而且有 和 ，则称 是层 到 上的层同构。也说 与 是同构的。

层相伴空间的同态设 和 分别是拓扑空间X上的两个层的相伴空间， 是一个连续映照，且适合

(1) 是保茎(preserves stalks)的，’即对 ，则 ，对所有的 都成立。

(2) 限制在茎上是群同态，即

这样的 称为层相伴空间 到层相伴空间 内的同态。

层相伴空间的同构如果 和 之假定同上， 和 是两个层相伴空间之间的同态，且有 ，则称 是一个层相伴空间的同构，也说 和 是同构的2。

相关定理定理1 是拓扑空间X上的层，它与它的相伴空间的截影层 是同构的。

定理2设 和 是拓扑空间X上的两个层， 和 分别是它们的相伴空间，如果 和 是层同构的，则相伴空间 和 是同构的。

定理3设 和 分别是拓扑空间X上的两个层所对应的相伴空间，如果 和 是相伴空间同构，则它们对应的截影层 和 是层同构的。

定理1、定理2和定理3说明了一个事实：即对—个拓扑空间X，它上面二个同构的层的相伴空间是同构的(定理2)，反之，如果拓扑空间X上的二个层的相伴空间是同构的，则这二个层亦是同构的(因为由定理3知这二个相伴空间的截影层是同构的，而由定理1知每个截影层都同构于原来决定相伴空间的层，无疑层同构是一个等价关系，所以这二个层亦同构)．因此我们可以将层和相伴空间看作是一样的，由我们所讨论的问题不同而作不同的选取2。

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学