[科普中国]-.极限集

定义

如果存在趋∞于的时间序列 使得 收敛于 ，则称 是轨线 或点 的 极限点。这表明当 趋向于 时， 无数次地靠近 ， 所有 极限点的集合称为是极限集，记作 。

类似地，如果存在趋于 的时间序列 使得 收敛于 ，则称 是轨线 或点 的极限点， 所有 极限点的集合称为 极限集，记作 。2

相关性质定理设 是一条轨线，则下面 极限集的性质成立：2

(i) 极限集只依赖于轨线而不依赖于特定点， 因此对任意的t，有 ；

(ii) 是不变集：若 ，那么对所有的正t或负t，轨线 都属于 ；

(iii) 是闭集(即 包含它所有的极限点)；

(iv) 若 ， 则有 ；

另外，若 对 是有界的(即存在常数C使得 ，则下面的(v)和(vi)也成立：

(v) 非空；

(vi) 是连通的，即它不能由多块区域组成。

若 对 是有界的，则 极限集有类似的性质。

性质(i)可直接由 极限集的定义推出。

性质(ii)可由流的连续性得到。

若 中的序列 收敛于 ，而 是 的极限点，这两点相结合可推出性质(iii)。

由性质(ii)和(iii)可推出性质(iv)。

性质(v)成立是因为轨线要不断地回到相空间中的某处。

性质(vi)成立是因为轨线本身是连通的。

极限集还可以表示为轨线上时间大于 的部分的闭包对所有 求交集，即

例题分析例1 考虑方程组

引入极坐标后可以很容易地理解该方程组，极坐标r满足 ，两边关于t进行微分并结合方程的表达式可得

或

同理，取角变量 满足 ，两边关于t进行微分，则有

于是

因此，解沿逆时针方向、以相同的角速度绕原点旋转，关于r的方程有一个吸引的不动点r=1和一个排斥的不动点r=0．从而在平面坐标下的方程有一个半径为1的圆形周期轨道，和一个排斥的不动点——原点，参见图1(a)

从单位圆外出发的轨线 都趋向于该单位圆，而不是趋于圆上的某个点，但对于圆上任一点z， 每经过 单位的时间后更接近于z，因此存在时间序列 使得 收敛于z.显然所取的z不同得到的 也不同，鉴于只考虑t趋向于无穷的情况，所有这些点所成之集称为极限集，这种记法考虑到了 是希腊字母表的最后一个字母。同理，t趋向负无穷时轨线的极限点集称为是极限集。2