[科普中国]-约束最优化问题

基本介绍

约束最优化问题(constrained optimization problem)是指具有约束条件的非线性规划问题。极小化问题的一般形式为

仅有等式约束条件的约束最优化问题，可采用消元法、拉格朗日乘子法或罚函数法，将其化为无约束最优化问题求解；对于含有等式约束和不等式约束条件的最优化问题，可采用以下方法：将不等式约束化为等式约束；将约束问题化为无约束问题；将非线性规划问题用线性逼近的方法来近似求解；在可行域中沿某方向作一维搜索，寻求最优解1。

约束最优化问题的解法约束最优化问题就是求目标函数 满足约束条件 的极值问题。因此，约束最优化，也称条件极值2。

约束最优化问题的解法有两种：

化约束最优化问题为无约束最优化问题例1 最大面积 设长方形的长、宽之和等于 问长方形的长、宽如何设计，才能使面积最大?

解: 这就是一个约束最优化问题：设长方形的长为x，宽为y，求目标函数A=xy在条件x+y=a之下的最大值。

由于从约束条件x+y=a中容易解出y=a-x，代入目标函数

问题归结为求一元函数A(x)的极值。

由 ，得驻点 。这是实际问题，最值一定存在，则 就是最大值点。因此，当 时，长方形面积最大，其最大值为 。

从上述例子可以看出化约束最优化问题为无约束最优化问题的思路：从约束条件 中解出 并将它代人目标函数 于是，问题就转化为求一元函数

的无约束最优化问题。

但是，这种方法有局限性，因为有时从约束条件 中解出y或x并非易事。因此，下面介绍另一种方法2。

拉格朗日乘数法这一方法的思路是：把求约束最优化问题转化为求无约束最优化问题，看它应该满足什么样的条件?

设 是函数 在约束条件 下的约束最优化问题的极值点。如果函数 在点(x，y)的邻域内有连续偏微商，且 、 不全为0(不妨设 ≠0)，则根据费马引理，一元函数 在点x的微商

由隐微分法，有

而 是由 所确定，所以

代入上式，消去 ，得

即

令 则有

称满足此方程组(1)的点(x，y)为可能极值点。

为了便于记忆，并能容易地写出方程组(1)，我们构造一个函数

称 为拉格朗日函数。则方程组(1)可以记为

于是，我们把用拉格朗日乘数法求解约束最优化问题的步骤归纳如下：

①构造拉格朗日函数

称为拉格朗日乘数；

②解方程组

得点(x，y)为可能极值点；

③根据实际问题的性质，在可能极值点处求极值2。