[科普中国]-加性函数方程

加性函数方程(additive functional equation)是一类最简单的函数方程，所谓加性函数方程，是指形如f(x+y)=f(x)+f(y)的方程。

基本介绍形如

的加性函数方程，柯西(A.-L.Cauchy)证明了方程(1)的连续解只有(是常数)，即使只要求在某点连续，在该点邻域有界或可测，也只有解。但在非可测函数类中，哈默尔(G.K.W.Hamel)和勒贝格(H.L.Lebesgue)证明了除外还有无穷多个解。另一方面，奥斯特罗格拉茨基(М.В.Остроградский)证明了，如果方程(1)的解在一个正测度集合上不取两个相异值之间的值，则必是连续的。以上结论可以推广到n个变量的情形。方程(1)的变形方程是

如果存在使得，则恒为零。因此假定，取即可看出，令，则方程(2)可化为方程(1)。因此，方程(2)的连续解只有。再考虑方程

如果存在使得，则，因此，假定时。对于，令，于是方程(3)就化为方程(2)，又在方程(3)中取得到，所以，于是方程(3)的连续解是或。

一般加法定理一般加法定理(general addition theorem)是刻画一种特殊方程存在连续的非零解特征的一个定理，一般加法定理如下：如果方程

在中存在连续的非常数解，那么必是严格单调函数，而是关于的严格单调递增连续函数，且，还存在一个，使得，而且关于中的任意的，成立恒等式

反之，如果是具有这些性质的函数，则(4)式存在在上连续的非常数解，而且若是这样的一个解，则就给出了其他的解，如果还是连续可微的，则就是微分方程

在初始条件f(0)=a下所得到的解1。

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学