加性函数方程(additive functional equation)是一类最简单的函数方程,所谓加性函数方程,是指形如f(x+y)=f(x)+f(y)的方程。
基本介绍形如
的加性函数方程,柯西(A.-L.Cauchy)证明了方程(1)的连续解只有
(
是常数),即使只要求
在某点连续,在该点邻域有界或可测,也只有解
。但在非可测函数类中,哈默尔(G.K.W.Hamel)和勒贝格(H.L.Lebesgue)证明了除
外还有无穷多个解。另一方面,奥斯特罗格拉茨基(М.В.Остроградский)证明了,如果方程(1)的解
在一个正测度集合上不取两个相异值之间的值,则
必是连续的。以上结论可以推广到n个变量的情形。方程(1)的变形方程是
如果存在
使得
,则
恒为零。因此假定
,取
即可看出
,令
,则方程(2)可化为方程(1)。因此,方程(2)的连续解只有
。再考虑方程
如果存在
使得
,则
,因此,假定
时
。对于
,令
,于是方程(3)就化为方程(2),又在方程(3)中取
得到
,所以
,于是方程(3)的连续解是
或
。
一般加法定理一般加法定理(general addition theorem)是刻画一种特殊方程存在连续的非零解特征的一个定理,一般加法定理如下:如果方程
在
中存在连续的非常数解
,那么
必是严格单调函数,而
是关于
的严格单调递增连续函数,且
,还存在一个
,使得
,而且关于
中的任意的
,成立恒等式
反之,如果
是具有这些性质的函数,则(4)式存在在
上连续的非常数解,而且若
是这样的一个解,则
就给出了其他的解,如果
还是连续可微的,则
就是微分方程
在初始条件f(0)=a下所得到的解1。
本词条内容贡献者为:
王海侠 - 副教授 - 南京理工大学