[科普中国]-非线性积分方程

不具有线性性质的一类积分方程就是非线性积分方程。如果未知函数在积分号下是以非线性形式出现的，这种方程就称为非线性积分方程。例如，

当不是的线性函数时，就是非线性积分方程。非线性积分方程也可以被分成多种类型，例如，弗雷德霍姆型、沃尔泰拉型、哈默斯坦型等。

由于自然界和工程技术中出现的大量问题都是非线性的，因此，在数学物理中研究过的一些线性方程，只能是在一定条件下对实际问题的近似描述。为了更精确地刻画客观现象，就完全有必要研究非线性积分方程。如果把积分方程中出现的函数看做是巴拿赫空间X中的元素，把原来的积分运算用算子T来代替，就将得到一个算子方程。

近年来非线性积分方程的研究已有很大的发展，但是还没有系统的理论。即使是讨论可解性问题上也存在着不少困难，这主要是与线性积分方程的研究方法有着本质的不同。这一理论的进一步发展在很大程度上依赖于现代泛函分析、算子理论以及绍德尔不动点原理等数学分支的发展1。

考虑下列Fredholm（弗雷德霍姆）型非线性积分方程

其中是参数，是变量的未知函数。

定理1 设是上的实连续函数，是和的连续函数，关于u满足Lipschitz条件：

其中及均为常数，此时存在常数,及，使，及，不妨设，则当参数适合条件

时，方程(1)有惟一连续解，这个解可用逐次逼近法求出：

并且函数列绝对一致收敛到方程(1)的解2。

考虑如下Volterra（沃尔泰拉）型非线性积分方程：

定理2 设是定义在上的已知实连续函数，是和的连续函数，且关于u满足Lipschitz条件。这里为常数，则存在常数及，使，不妨设，则当满足条件

时，方程(2)有惟一连续解。可由如下迭代得到

且绝对一致收敛到（2）的解2。

在非线性积分方程中，研究较多的是下列的Hammerstein(哈默斯坦)型积分方程(integral equation of the Hammerstein type)。

其中为已知函数。

定理1 设核是连续实对称正核，连续并满足如下条件：

(1) 存在，使得

(2) 存在，使得

其中真是积分算子的最小特征值，则方程(3)在中至少有一解。

定理2 设核为连续实对称正核，连续，并且存在及(同上)，使

则(3)在中至少有一解。

定理3 如果对任何固定的是u的非减函数，则(3)至多有一解2。