[科普中国]-复合分布

复合分布(composite distribution)是一类概率分布，如果一个随机变量ξ服从的分布与一个参数α有关，而α也是一个随机变量，α服从一个确定的分布，这时称随机变量ξ服从一个复合分布。例如，复合二项分布、复合泊松分布、复合负二项分布等。

基本介绍复合分布是由分布参数的随机化产生的概率分布。设随机变量的分布函数[或概率函数]所依赖的参数本身是随机变量，则由分布函数[或概率函数]

所决定的概率分布称做复合分布。如X服从参数为的指数分布，其分布函数为，而服从参数为的分布，则相应的复合分布的分布函数为

混合分布也可以视为复合分布。

相关定理设随机变量服从的分布与一个参数有关，而也是一个随机变量，它服从一个确定的分布，且与相互独立，这时称随机变量服从一个复合分布1。

定理1设随机变量与参数均是取值为非负整数的离散型随机变量，且，则复合分布为

**证明：**考虑二维随机变量，对于，由条件分布，得

故边际分布

即为所求。

定理2设为离散型随机变量，为连续型随机变量，其密度函数满足，当

时，时，，则复合分布为

其中。

定理3设为连续型随机变量，其密度函数为，为离散型随机变量，其分布满足，则复合分布为

定理4设，均为连续型随机变量，其密度函数分别为且满足，当时，，则复合分布的密度函数为1

举例说明例1 复合二项分布

设服从二项分布，，其中n服从参数为的泊松分布，则复合二项分布为

例2 设随机变量服从泊松分布

其中参数是一个连续型随机变量。其密度函数

则复合分布为

令，，于是

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学