[科普中国]-概率母函数

在概率论里，概率母函数是指该随机变量的概率质量函数的幂级数表达式。它也是研究随机变量分布律的一个重要的分析工具。

定义单变量情形如果X是在非负整数域{0，1， ...}上取值的离散随机变量，那么X的概率母函数定义为 ：

其中p是X的概率质量函数。1

多变量情形如果X= (X1，...，Xd )是在d-非负整数格{0，1， ...}上取值的离散随机变量， 那么X的概率母函数定义为：

其中p是X的概率质量函数。1

性质幂级数概率母函数服从幂级数的所有非负系数的规则。特别地， ，其中 ，因为概率必须总和为1。所以任何概率母函数的收敛半径必须至少为1，通过具有非负系数的幂级数的Abel定理来证明。1

概率和期望以下性质是与X有关的各种基本量的推导：

1、X的概率质量函数通过取G的导数来恢复，

2、概率密度函数的归一化可以用母函数来表示：

该预期的X由下式给出：

所以，X的方差由下式给出1：

独立随机变量的函数概率母函数对于处理独立随机变量的函数特别有用。例如：

如果X1，X2，...，Xn是一系列独立的（不一定是相同分布的）随机变量，并且 其中ai是常数，则概率母函数由下式给出：

例如，如果

那么，概率母函数GSN（z）由下式给出：

也就是说，两个独立随机变量S=X1-X2的差的概率母函数是1：

示例1.一个常数随机变量（即 ）的概率母函数是：

2.一个的概率母函数二项式随机变量，在成功的次数Ñ试验中，概率p是每次试验成功的概率，概率母函数是：

注意，这是具有参数p的伯努利随机变量的概率母函数的n倍乘积。

所以，掷硬币时间的概率母函数是：

3.一个概率母函数的负二项随机变量在{0，1，2 ...}中，每次试验的成功概率p，概率母函数是2：

相关概念概率母函数是一个的例子母函数的序列组成：也见形式幂级数。这与概率质量函数的z变换等效，有时称为z变换。

其他随机变量的母函数包括矩母函数、特征函数和累积量母函数。2

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学