[科普中国]-正则条件概率

正则条件概率(The regular conditional probability)亦称条件概率测度。

定义设为概率空间，为的子代数。由条件期望的性质知：

具有以下性质：

这些性质与概率测度的性质(全空间的测度等于1，非负性，可数可加性)很相似，不同之处在于出现了例外集．

假定对于每一个集合，我们取定的一个版本(即为上的一个确定的可测函数，并且．我们希望去掉一个例外集(概率为零)使得，对于任意的为上的一个概率测度：非负性及在全空间上的值等于1不成问题，只需要它满足可数可加性：即对于任意可数个两两不相交的集合，必须有下式成立

但是，根据条件期望的定义，我们只知道。因此，对于每一个集合序列，需要去掉一个例外集才能使得式成立；而这样的序列个数通常都是不可数的，我们知道不可数个零概集的并集不一定还是零概集(其实并起来的集合是否属于代数我们都不知道，即并起来的集合的可测性我们一般都不知道)．如果能够去掉一个公共的零概集N，使得式成立，可在N上，对于任意集合，定义，则式对所有成立。

设为一概率空间，为的子代数．令为上的一族概率测度，称它为P关于的正则条件概率，如果为的一个版本，即以下两个条件成立：

(1)为上的可测函数；

(2)，

相关定理定理1：设为P关于的正则条件概率。设X为一随机变量，其期望存在，则对几乎所有，X关于概率测度的积分存在，并且有

证明 ：从示性可测函数过渡到非负可测函数，再到一般可测函数(随机变量) 。

该定理表明，有了正则条件概率，条件期望可以看做是关于条件概率的积分。

定理2： 设为一可分可测空问，P为上的一紧概率测度，则对的任一子代数，存在P关于的正则条件概率。

定理3：设为一Radon可测空间，P为上的一概率测度，则对的任一子代数，存在P关于的正则条件概率。1

本词条内容贡献者为:

孙和军 - 副教授 - 南京理工大学