[科普中国]-不相关随机变量

不相关随机变量(uncorrelated random variables)是一类随机变量，是指相互间没有线性关系的随机变量。如果随机变量ξ，η的相关系数r=0，则称ξ，η不相关。显然，如果ξ，η相互独立，则必定不相关。且下述事实等价：1.ξ，η不相关，即r=0；2.cov(ξ，η)=0；3.Eξη=EξEη；4.D(ξ+η)=Dξ+Dη。 一般地，若ξ，η不相关，它们未必相互独立，但当(ξ，η)是二维正态分布时，独立与不相关等价1。

基本概念不相关随机变量是指两个变量的相关系数为0的变量，是相互间没有线性关系的变量。变量间的关系主要有互不相容、对立、独立和互不相关。

互不相容：若两事件A与B不能同时发生，则称A与B是互不相容事件，或称互斥事件，记作。

对立：在互不相容的基础上再加一个条件，。通俗的说所谓对立事件，有你没我，有我没你，咱俩之间必须有一个。

独立：设A，B是两事件，如果满足等式，则称事件A，B相互独立，简称A，B独立。

不相关：若随机变量 X 和 Y 的相关系数，称 X 与 Y 不相关，众所周知，独立变量一定不相关（自然要求方差有限），不独立变量也可以不相关，单位圆内的均匀分布即其一例。

相关关系与相关系数基本介绍相关关系是一种非确定性的关系，相关系数是研究变量之间线性相关程度的量。由于研究对象的不同，相关系数有如下几种定义方式。

简单相关系数：又叫相关系数或线性相关系数，一般用字母r 表示，用来度量两个变量间的线性关系。

定义式

其中，为X与Y的协方差，为X的方差，为Y的方差

复相关系数：又叫多重相关系数。复相关是指因变量与多个自变量之间的相关关系。例如，某种商品的季节性需求量与其价格水平、职工收入水平等现象之间呈现复相关关系。

典型相关系数：是先对原来各组变量进行主成分分析，得到新的线性关系的综合指标，再通过综合指标之间的线性相关系数来研究原各组变量间相关关系2。

相关系数的性质这里，，是一个可以表征和之间线性关系紧密程度的量。它具有两个性质：

（1）

（2）的充要条件是，存在常数a，b，使得

由性质衍生：

a. 相关系数定量地刻画了 X 和 Y的相关程度，即越大，相关程度越大；对应相关程度最低；

b. X 和Y 完全相关的含义是在概率为1的意义下存在线性关系，于是是一个可以表征X 和Y 之间线性关系紧密程度的量。当较大时，通常说X 和Y相关程度较好；当较小时，通常说X 和Y相关程度较差；当X和Y不相关，通常认为X和Y之间不存在线性关系，但并不能排除X和Y之间可能存在其他关系。

不相关和独立若X和Y不相关，，通常认为X和Y之间不存在线性关系，但并不能排除X和Y之间可能存在其他关系；若，则X和Y不相关。

若X和Y独立，则必有，因而X和Y不相关；若X和Y不相关，则仅仅是不存在线性关系，可能存在其他关系，如，X和Y不独立。

因此，“不相关”是一个比“独立”要弱的概念。

判定方式两个变量是不是相关变量需要用相关系数r来判定，相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度。相关系数r的计算方式如下：

式中：

，称为与的离均差积和；

，称为的离均差平方和；

，称为的离均差平方和3。

计算出的值可能出现以下几种情况：

，正相关；

，负相关；

，完全正相关；

，完全负相关；

，无相关。

且：

其中为X与Y的协方差，为X的方差，为Y的方差。

当时，称X，Y为不相关变量4。

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学