[科普中国]-帕雷托解

帕雷托解(Pareto solution)亦称非劣解或有效解。多目标优化的一种解概念。由意大利经济学家帕雷托(Pareto，L.)提出。1

多目标优化也称多属性决策。指包含多种目标的复杂性的决策。在决策科学中，目标被定义为：决策人希望决策结果所能达到的状态的表述。

简介帕雷托解(Pareto solution)亦称非劣解或有效解。多目标优化的一种解概念。由意大利经济学家帕雷托(Pareto，L.)提出。设有N个决策人，第i人的决策量为ui，其极大化目标函数为Ji(u1，u2，…，uN)。称点up=(up1，up2，…，upN)为一帕雷托解，是指不可能找到更好的决策u*=(u*1，u*2，…，u*N)，使得对任何i，均有Ji(u*)≥Ji(up)，且其中至少有某i使得不等号严格成立。由于帕雷托解一般并不惟一，如何由其中按某种理性准则选出最满意的结果，将是这一类多目标优化问题求解的关键。

多目标优化也称多属性决策。指包含多种目标的复杂性的决策。在决策科学中，目标被定义为：决策人希望决策结果所能达到的状态的表述。根据目标的这一定义它具有以下特点：(1)层次性。即将目标分为不同的层次，最高层的称“总体目标”，以下分别有不同性质和不同类别的目标与子目标。(2)模糊性。即对目标的度量常用“好”、“不好”和“差”等模糊概念来表达，这种表达更接近实践。(3)相对独立性。即虽然目标之间存在着种种联系，但决策时常常将它们独立地加以考虑。属性是指可测的量，它反映特定的目标达到目的的程度。属性必须满足两个性质：(1)可理解性。如果一属性的值足以标定相应的目标达到的程度，则它是可理解的。(2)可测性。如果对给定的方案能够用某种标度对一属性赋值，则该属性是可测的。在社会经济系统和工程系统中，大量的问题是要求决策者考虑多于一个目标的决策。如在选购商品时要考虑商品的质量、性能、形状和价格等方面。这里讨论的“质量”、“性能”、“形状”和“价格”就是决策科学中的属性，而“质量好”、“性能全”和“价格低”等则是进行决策的目标。这里可以用数学符号a=(a1，a2，…，an)来表示每一个决策方案。其中a1，a2，…， an为多个目标所对应的属性。每个多目标决策问题都包含有五个要素，它们是：决策单元(包括决策人)、决策目标、决策属性、决策方案和决策规则。多目标决策问题可以表述成：决策人根据决策规则，由决策属性的值，在决策方案中选择一个最好的方案。

目标优化问题一般地就是指通过一定的优化算法获得目标函数的最优化解。当优化的目标函数为一个时称之为单目标优化(Single-objective Optimization Problem, SOP)。当优化的目标函数有两个或两个以上时称为多目标优化(Multi-objective Optimization Problem, MOP)。不同于单目标优化的解为有限解，多目标优化的解通常是一组均衡解。

多目标优化算法归结起来有传统优化算法和智能优化算法两大类。

1. 传统优化算法包括加权法、约束法和线性规划法等，实质上就是将多目标函数转化为单目标函数，通过采用单目标优化的方法达到对多目标函数的求解。
2. 智能优化算法包括进化算法（Evolutionary Algorithm, 简称EA）、粒子群算法（Particle Swarm Optimization, PSO）等。2

目标函数决策问题中所要实现的决策目标的数学表达式。经济工作中需要决策的问题主要有两类：①如何应用有限的资源，取得最大的经济效果，使产量、产值、盈利等达到最高;②在任务一定的情况下，如何合理地配置各种资源，以最少的消耗去完成这些任务。这些问题通常可用线性规划方法解决。因此，线性规划模型中的目标函数就是求变量的线性函数的极大值或极小值。如最高产量或产值、最大利润或净收益、最低成本、最小投资、最短距离等。这种目标函数只能是度量单位相同的单一目标。如果有多个目标，则应将多目标转化为单一目标，才能求解。

衡量一个决策过程好坏的函数。它是决策向量的函数，即每一个策略对应着一个目标函数值，即目标函数依赖于系统的状态及相应的策略。在动态规划问题中，所遇到的目标函数中最简单最常用的是相加型的，即总目标函数是决策过程通过的每个状态的目标函数之和。多阶段决策问题，就是要在允许选择的那些策略中间，选择一个最好的策略，使目标函数值达到最优。3

数学规划运筹学的一个分支，是线性规划、非线性规划、动态规划、多目标规划等的总称。数学规划问题与工程技术、经济管理等领域中的许多问题有着密切的关系。这些问题的共同特点就是：当考察某一系统时，在 某些条件(资源、劳动力、工艺技术等)的限制 下，采取何种决策(方案)，可使系统的某个目 标最优化。

为了做出决策，一般要通过以下三个阶段进行：

1.对所考察的系统建立一个数学模型。 建立模型时，首先要确定变量；搜集有关数据；确定有待最优化(极大或极小)的目标函数；把对系统的限制条件写成数学关系式(等式或不等式)。这些限制条件统称为约束条件。

2.分析所建立的数学模型的特点，并选择适当的求出最优解的算法。

3.求出最优解。求解时大多需要利用计算机。所求出的最优解可以为决策者提供做 出最优决策的各种信息。

根据数学模型中约束条件和目标函数的特点，数学规划可以分为线性规划、非线性规划、动态规划等各类规划问题。不难看出，数 学规划本质上属于最优化问题的范畴。这类 最优化问题的古典形式就是微积分中的极值 问题和条件极值问题。但是，对这类极值问题的研究直到本世纪40年代前后才受到应有的注意。并在最优设计、经济管理、系统分析等各领域得到广泛的应用。

帕雷托意大利经济学家、社会学家。生于巴黎。早年学习自然科学，1868年获都灵大学工程博士学位。毕业后一度从事工程技术工作。1889年前后转向研究经济学，1893年任瑞士洛桑大学政治经济学教授。1906年后致力于社会学研究。对残余物和衍生物的区分是他全部社会学分析的理论前提。残余物即从社会活动中除去人们的理性想法之后保留下来的东西，它是社会活动的常数；衍生物则表示观念、信仰、理论等意识形态系统，它是派生的，是社会活动的变数。他的行动理论指出了人的行动的非逻辑方法，认为行动是对人的情感或心理状态的一种反映，而不是真正基于手段——目的的理性模式。他的精英理论研究了社会分层和社会统治问题，认为社会中存在具有最高能力的社会精英，并将之分为政治精英和经济精英两种类型。在社会系统理论中，他指出经济生产力的水平、政治权力的分布状态、意识形态的性质和不平等的模式是社会系统的四个特征，它们具有动态均衡的关系。帕雷托的社会学思想是结构功能主义的理论来源之一。主要著作有：《政治经济学讲义》(1896—1897)、《社会主义体系》(1902—1903)、《政治经济学教程》、(1906)、《社会学通论》(1916)等。4

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学