[科普中国]-变形马蒂厄方程

简介

变形马蒂厄方程(modified Mathieu equation)，周期为纯虚数的希尔方程。即

作变换 ，即可化为马蒂厄方程

在椭圆柱坐标系

中求解亥姆霍兹方程时，可得到变形马蒂厄方程。1

变形马蒂厄函数变形马蒂厄函数(modified Mathieu function)是变形马蒂厄方程的解的总称。在马蒂厄函数中以 iz 代替 z 即可得到变形马蒂厄函数。特别是，对应于第一类马蒂厄函数

和第二类马蒂厄函数

有

分别称为第一类和第二类变形马蒂厄函数。把它们线性组合起来，还可以得到第三类变形马蒂厄函数

另外还有

也称为第三类变形马蒂厄函数。1

马蒂厄（法国数学家、物理学家）马蒂厄（Mathieu，Emile Leonard，1835—1890）法国数学家、物理学家。生于梅斯（Metz），卒于南锡（Nacy）。1859年毕业于巴黎综合工科学校。1869年晋升为教授。早年从事置换群理论研究，毕业后转向数学物理，扩展了一类偏微分方程的形式与解法。1868年引入椭圆坐标，同时给出相应的函数表达式，后人称为“马蒂厄函数”。他的主要论著均收入《数学物理文集》（7卷，1874—1890）中。2