[科普中国]-线性插值

基础知识

已知函数 在区间 上 个互异点 上的函数值 ，若存在一简单函数 ，使

并要求误差

的绝对值 在整个区间 上比较小。这样的问题称为插值问题。

其中

：插值节点

：被插值函数

：插值函数

：插值区间

如果在插值区间内部用 代替 则称为内插；在插值区间以外，用 代替 则称为外插。1

简介线性插值是一种较为简单的插值方法，其插值函数为一次多项式。线性插值，在各插值节点上插值的误差为02。

如概述图中所示，设函数 在两点 ， 上的值分别为 ， ，求多项式

使满足

由解析几何可知

称 为 在 处的一阶均差，记以 。于是，得

如果按照 整理，则

以上插值多项式为一次多项式，这种插值称为线性插值。1

几何意义线性插值的几何意义如右图所示，即为利用过点 和 的直线 来近似原函数 。

应用1）线性插值在一定允许误差下，可以近似代替原来函数；

2）在查询各种数值表时，可通过线性插值来得到表中没有的数值。