[科普中国]-链条件

链条件(chain condition)是可数链条件概念的推广。设κ为任意无穷基数，〈P，≤〉为一个偏序集，若P中每条反链的基数均小于κ，则称〈P，≤〉具有κ链条件，记为κ-CC ，因此，可数链条件即为ω1-CC。1

概念链条件(chain condition)是可数链条件概念的推广。设κ为任意无穷基数，〈P，≤〉为一个偏序集，若P中每条反链的基数均小于κ，则称〈P，≤〉具有κ链条件，记为κ-CC ，因此，可数链条件即为ω1-CC。若偏序集〈P，≤〉具有κ链条件，也称〈P，≤〉是κ饱和的(κ-saturated)。通常用sat(P)表示κ·ω， 这里的κ是使P为κ饱和的最小的基数κ. sat(P)一定为正则基数。

可数链条件简称CCC。现代数学的基本概念之一。设〈p，≤〉为一个偏序集，A⊆P为P的一个子集，若对任何p，q∈A，不存在r∈P，使r≤p且r≤q，则称A为P中的一条反链。若P中每一反链均可数，则称〈P，≤〉具有可数链条件，在拓扑学与布尔代数中也有可数链条件的概念，它们可以看成偏序集上的可数链条件概念的变体。设B为一个布尔代数，若〈B\{0}，≤〉具有可数链条件，则称B具有可数链条件，这里“≤”定义为：a≤b，当且仅当a+b=b。设〈X，T〉为一个拓扑空间，若〈T\{∅}，⊆〉满足可数链条件，则称X具有可数链条件，即X中每个两两不相交的非空开集簇可数。2

偏序集设A是一个集合，若在A内存在一个关系“≤”，它满足：

①反身性 对于任何a∈A，有a≤a；

②反对称性 对于a，b∈A，若a≤b，且b≤a，则a=b；

③传递性 对于a，b，c∈A，若a≤b，b≤c，则a≤c。

则称“≤”是集合A的一个偏序关系，也称作半有序关系。

如果a≤b，就叫做a不在b的后面，或b不在a的前面。

在一个集合A内，如果建立了一个偏序关系≤，就称集合A对于关系≤成为一个偏序集，也称作半有序集。记作(A，≤)。

由上述定义可知，偏序集就是一个集合A加上一个偏序关系≤。

例如，实数集R对于关系“≤”构成偏序集(R，≤)。

再如，设I是一个全集，幂集P(I)对于关系“⊂”是一个偏序关系，(P(I)，⊂)是一个偏序集。值得注意的是，当A，B⊂P(I)，且A∩B=Φ时，A⊂B和B⊂A都不成立，但这不要紧，因为定义中不要求对于A中的任意两个元素a和b，a≤b或b≤a必有一个成立，这就是说，它只要求这种顺序关系≤在部分元素中成立。

偏序关系常见的序关系之一。若二元关系R满足可传性、反自反性，则称R为一个严格偏序关系，通常记为。若