[科普中国]-广义连续统假设

广义连续统假设简称GCH，连续统假设的推广，是对一般无穷基数的幂的一种假设。它可以叙述为:对任何无穷集合A，不存在集合的势大于A的势而小于幂集P(A)的势。广义连续统假设在 ZF系统中是不可判定的。

定义广义连续统假设是连续统假设对每一个无限集合的推广：如果 X 是一个无限集合， ，而且 A 和P（X）不等势，那么必有 A 的势小于等于 X 的势，即 。1

性质广义连续统假设是指： 若一个无限集A的基数在另一个无限集S与其幂集2S之间，则A的基数必定与或其幂集2S相同。CH与GCH都独立于ZFC，不过Sierpiński证明了ZF+GCH可以推导出选择公理，换句话说，不存在ZF+GCH但AC不成立的公设系统。

任何的无限集合A和B，假如存在一个由A到B的单射，那就存在一个由A的子集到B的子集的单射。因此对于任何有限的序数A和B， 。

假如A和B是有限集合，那我们可以得到更强的不等式：。

GCH意味着这个严格的不等式对无限序数和有限序数都成立。

连续统假设1874年格奥尔格·康托尔猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。它又被称为希尔伯特第一问题，在1900年第二届国际数学家大会上，大卫·希尔伯特把康托尔的连续统假设列入20世纪有待解决的23个重要数学问题之首。1938年哥德尔证明了连续统假设和世界公认的ZFC公理系统不矛盾。1963年美国数学家保罗·寇恩证明连续假设和ZFC公理系统是彼此独立的。因此，连续统假设不能在ZFC公理系统内证明其正确性与否。

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学