[科普中国]-完全概率空间

完全概率空间 (complete probability space)是一种概率空间。如果概率空间的一切零概率集的子集均属于集，就称为一完全概率空间。1

概念完全概率空间(complete probability space)是一种概率空间。如果概率空间(Ω，F，P)的一切零概率集的子集均属于F，就称(Ω，F，P)为一完全概率空间。对任一概率空间(Ω，F，P)，若令F'={A△B：A∈F，B⊂N，N∈F且P(N)=0}；P'(A△B)=P(A)，A∈F，B⊂N，N∈F且P(N)=0，则(Ω，F'，P')为一完全概率空间，称其为概率空间(Ω，F'，P)的完全化。

概率空间概率空间是概率论的基础。概率的严格定义基于这个概念。

概率空间(Ω, F, P)是一个总测度为1的测度空间（即P(Ω)=1）。第一项Ω是一个非空集合，有时称作“样本空间”。Ω 的集合元素称作“样本输出”，可写作ω。第二项F是样本空间Ω的幂集的一个非空子集。F的集合元素称为事件Σ。事件Σ是样本空间Ω的子集。集合F必须是一个σ-代数：

若，则；

若，则

(Ω,F)合起来称为可测空间。事件就是样本输出的集合，在此集合上可定义其概率。

第三项P称为概率，或者概率测度。这是一个从集合F到实数域R的函数，。每个事件都被此函数赋予一个0和1之间的概率值。

概率测度经常以黑体表示，例如或，也可用符号"Pr"来表示。2

概率亦译“或然率”、“几率”。对一个事件的可能性的大小所作的数量方面的估计。在社会和自然界中，某一类事件在相同的条件下可能发生，也可能不发生，这类事件称为“随机事件”。不同的随机事件发生的可能性大小是不相同的，概率就是人们用来表示随机事件发生的可能性大小的一个量。概率的定义有多种：(1)古典定义：一个事件A出现的概率，是A可能出现的情况与全部可能情况的比率。(2)频率定义：一个事件A出现的概率，等于A在若干次试验中出现的频率。

概率是客观存在的统计规律在人们头脑中的反映。作为数学的一门分科的概率论是系统研究概率的科学，而以概率论为工具研究归纳推理的理论就产生了概率逻辑。因此，概率是概率逻辑中的基本概念，与经验的归纳方法不同，它是一种应用数学方法的归纳方法。概率逻辑是作为归纳逻辑的直接继续而产生的。由于归纳逻辑得出的结论，以及假说演绎法的结论，都是或然性的，因而需要从量的方面估计某一结论的或然性，把数学中所制定的精确的概率方法引进逻辑。英国J. S.穆勒的《逻辑体系》一书的归纳部分就已有两章讨论概率。英国数学和逻辑学家布尔也提出了概率的逻辑解释，提出考察关于事件的判断的概率以代替事件本身的概率。1913年苏联数学家和逻辑学家柯尔莫哥洛夫提出了概率的公理化定义，对近几十年概率理论的发展起了积极作用。以后，卡尔纳普在他的归纳逻辑中强调概率的概念应分成两种，即概率1和概率2。概率1是指概率的逻辑概念，概率2是指概率的统计概念。

概率论概率论是研究随机现象数量规律的一门科学，它起源于17世纪法国数学家帕斯卡和费马之间的通信。当一群赌徒请教费马在赌博时谁胜的可能性大时，他开始了现在称之为古典概型的研究。

其后，随着实践及生产的发展，特别是在射击理论、人寿保险、测量误差工作中提出的概率问题，促使人们在概率论的极限理论方面进行了深入的研究。在18和19两个世纪，极限理论成了概率论研究的主题。在大量的工作中以一批苏联学者如车比雪夫、马尔可夫、李雅普诺夫的工作最为出色。马尔可夫使用了所谓截尾术方法，而他师弟李雅普诺夫的特征函数方法则使近200年没有答案的中心极限定理在短短的几页纸上基本得到解决。

由苏联数学家柯尔莫哥洛夫在1929年引进的概率论公理体系，奠定了概率论坚实的数学基础，促进了概率论在理论及应用两方面的发展。柯尔莫哥洛夫的工作标志着近代概率论的诞生。

由于物理学、生物学、医学以及工程技术的推动，概率论的理论课题不断地扩大和深入，应用的领域也日益宽广。目前，概率论在近代物理、无线电与自动控制、工厂产品的质量控制、农业试验、公用事业等方面都找到了重要应用。与此同时，概率论本身的研究则转入以随机过程为中心课题，诸如马氏过程、平稳过程、鞅论等的研究，取得了许多理论上和应用上都有重要价值的结果。近年来，概率论和数学其他分支间的联系也日益加强，用概率论方法不仅可以解决偏微分方程，复变函数论中的一些问题，而且也能证明一些非常著名的结果，如阿提雅-辛格指标定理等。3

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学