[科普中国]-高阶微分

二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。

二阶微分：若dy=f'(x)dx可微时，称它的微分d（dy）为y的二阶微分，当二阶微分可微时，称它的微分为三阶微分，一般的，当y的n-1阶微分可微时，称它的微分为n阶微分。

简介一阶微分的定义：

设函数 在某个区间有定义， 及 在这个区间内，如果

成立，（其中A是与 无关的常数）， 是比 高阶的无穷小量（当 时），则称函数 在点 可微，并且称 为函数 在点 相应于自变量增量 的微分，记作

或者记为

即 。

二阶微分：

若 可微时，称它的微分 为y的二阶微分，记为 ，当 可微时，称它的微分 为y的三阶微分，记为 。

一般地，当y的n-1阶微分 可微时，称n-1阶微分的微分称为n阶微分，记作 。

高阶微分：二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。1

高阶微分的求法

这里dx的是x处的产生的增量，与变量x无关，视作常数，用同样的方法，得

即y的n阶微分等于它的n阶导数乘上自变量的微分的n次方。

但对于复合函数我们就不能得出这一公式

这时才回能到前面导出的公式

这事实也说明高阶导数不具有形式不变性。2

可降阶的高阶微分方程的解法（1） 型：

解法：接连积分n次，得通解。

（2） 型，不显含未知数y：

解法：令 。

（3） 型，不显含自变量x：

解法：令 。

线性微分方程解的结构(1) 二阶齐次方程解的结构：

形如 （1）

定理1：如果函数 是方程（1）的两个解，那么 也是方程（1）的解（ 是常数）。

定理2：如果函数 是方程（1）的两个线性无关的特解，那么 就是方程（1）的通解（ 是常数）。

（2）二阶非齐次线性方程的解的结构：

形如 （2）

定理3：设 是（2）的一个特解，Y是与（2）对应的齐次方程（1）的通解，那么

是二阶非齐次线性微分方程（2）的通解。

（3）二阶常系数齐次线性方程解法：

二阶常系数齐次线性方程 。

解法：由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法。

微分方程： 。

特征方程： 。

|| ||

（4）n阶常系数齐次线性方程解法：

特征方程为：

|| ||

（4）二阶常系数非齐次线性微分方程解法：

通解： ，其中Y是对应其次方程的通解， 是非齐次的特解，用待定系数法求特解 。

1. 型：

设特解形式： ，其中 是与 同次的待定多项式。

不是特征根；

是特征单根；

是特征重根；

2.型：

设特解形式：，其中是与是m次的多项式。

不是特征方程的根；

是特征方程的单根；

本词条内容贡献者为:

李岳阳 - 副教授 - 江南大学