[科普中国]-瑞利商迭代法

概念

瑞利商迭代法(Rayleigh quotientiterationmethod)是一种用瑞利商作位移的反幂法。反幂法的收敛性和幂法本身一样是线性的。不像幂法之处是只要充分接近，反幂法的收敛性系数可以任意小。对这一点的观察导致在中当收敛到一特征向量时，每步迭代均选取特征值的“最佳猜测”，自适应地改变参数的概念。这样，瑞利商迭代法与反幂法不同之处，在于每一迭代步，在中用瑞利商代替。我们用规范化的的残量的长度来度量向量满足特征向量条件的偏差。具体地说，准则是

瑞利商迭代法值得注意的是，按我们现在形式上叙述的误差，收敛性是平方的，甚至是立方的（三阶的）。1

基本原理定理：设是按瑞利商迭代法构成的，并假定在每步迭代，对某确定的，满足，若以表示残量的长度，即

则对于某常数和，

证明：设表示一个特征向量的估计值，假定，且实部，这里是的第一个分量，设是变换使

可分解为，类似于下面的分块结论是正确的：

式中显然是对的瑞利商，且是维向量。

利用酋阵的性质，得到若按的定义则

鉴于，得到误差的关系式

设是由瑞利商迭代决定的，它是向量的非规范化的后继向量，即设

再利用酋阵的性质，求得

式中，以左乘得到

与比较，得到结论