[科普中国]-简单类型论

定义定义

简单类型论(simple type theory)分支类型论的基础.指在分支类型论中，废除性质的级的划分，而保留类的划分的一种理论。非直谓定义法往往不仅在数学上，而且在日常生活中也是不可缺少的。

解释第 0 层谓词:：包 括一切个体 ( 个体常项或变项 ) ，这些实体的类型记为0。

第 1层谓词 ：取个体作为变目的谓词，包括个体的属性 （ 用 等来表达，其 中e为空位），个体之 间的关系（ 用 等来表达 ）。个体属性（如 "e是聪 明的 " ）的类型记为( 0)， 个体关系（ 如 "x> y" ，”x在y和z之间“ ）的 类型 记为 ( 0,0 ) 等。

第 2 层 谓词 ： 其空位被个体或第 1层谓词填补 ，并 且至少出 现一个第 1层谓作为变目。第 2 层谓词亦根据它的空位的个数及种类而分成不同的类型。个体属性的一个属性 ，如“ 诚实是有道德的”, 其类型记为 ( ( 0 ) ) ，大于关系的传递性。其类型为 (( 0, 0) ) ； 张三体现了李四 爱 学习的精神，其类型为 ( 0 ,( 0 ) )。

第 3 层请词、 第 4 层谓 词 等等可类推。一 个谓词 如果其变目属 于 层并且至少有一个变目是第 n 层 的。它便属于第n + l 层 。只有第 1 层谓词才能有意义地述说某一个体( 第0 层谓词 ) 。 一般说 来 ， 第层谓词 能够有意义地述说第 层谓 词 当且 仅 当 ,第 层谓词不能有意义地述说同层的谓词1。

起源经过兰姆赛(Ramsey,F. P.)的研究知，逻辑数学悖论无不导源于“一切集的集是集”、“一切良序集的集是良序集”等违反类型混淆原则的概念，因而只要坚持类型混淆原则，便足以排除逻辑数学悖论。类型混淆原则是集合化了的分类原则的直接推论。从而只要承认英国数理逻辑学家罗素(Russell , B. A. W.)关于性质、性质的性质……的分类及其分类原则，并将其集合化，便可在类型混淆原则之下排斥等价式非直谓定义法的使用而避免逻辑数学悖论的出现。至于那些语义学悖论的出现，既然不能在逻辑、数学的符号语言中表达，故从逻辑、数学的角度去建造数学理论时，即可不考虑语义学悖论而纳人语义学中去处理.因此兰姆赛就在保留罗素对于性质的类的划分，而废除关于性质的级的划分的基础上建立了简单类型论。在简单类型论中，只承认关于性质的分类原则而不承认恶性循环原则，因而只否定等价式非直谓定义法的使用，而保留了那些不涉及等价式非直谓的、一般意义下的狭义非直谓的合理因素的使用.从而由兰姆赛建立的简单类型论为大多数数学家所欢迎2。

特点简单类型论保留了罗素关于性质的分类及其分类原则，而集合化了的分类原则(任)又使得类型混淆原则必然成立，而类型混淆原则与等价式非直谓不能成立，从而那些与等价式非直谓直接相关的康托尔悖论、布拉利·福尔蒂悖论等首先不能在简单类型论中出现.其次，在分类原则(任)之下，既然类型混淆原则必然成立，因而具有性质xE二的总体均不为集，即任何集都是非本身分子集，因而一切非本身分子集的总体万也不是集，否则，若设乏为一集，则万也不例外地是一个非本身分子集，从而由乏的构造而知乏又是本身分子集了，矛盾.这矛盾说明乏不是集，因而不存在乏为本身分子集还是非本身分子集的问题，故在简单类型论中不存在罗素悖论1。