[科普中国]-庞加莱模型

庞加莱模型(Poincare's model)一种罗氏几何模型。第一个在欧几里得几何系统中构造出罗巴切夫斯基几何公理系统模型的是法国数学家庞加莱(Poincaré，(J.-)H.)，由于该模型与非欧几何的相容性问题以及如何解决第五公设问题等直接相关，从而以庞加莱模型称之。

概念庞加莱模型(Poincare's model)一种罗氏几何模型。第一个在欧几里得几何系统中构造出罗巴切夫斯基几何公理系统模型的是法国数学家庞加莱(Poincaré，(J.-)H.)，由于该模型与非欧几何的相容性问题以及如何解决第五公设问题等直接相关，从而以庞加莱模型称之。将罗巴切夫斯基几何公理表中有关空间陈述之5条结合公理Ⅰ4-Ⅰ8去掉，构成一个罗巴切夫斯基平面几何公理系统，记为Σ0。

详细构造现要在欧氏平面上构造出Σ0的模型。任取欧氏空间的一个平面，称为L平面，又把毯上的点称为I点，再把垂直于 u而位于C上的半直线，以及圆心在u上而圆周与 u垂直且位于毯上的半圆周统称为L直线。实际上，这里也可将垂直于u而位于巧上的半直线视为半径无限大而圆周垂直于u的半圆周。人们把I平面上的L点和L直线作为所选取的一组客观对象。可以逐条验证所选对象之间的关系得以满足公理系统诸公理。例如，由于在欧氏意义下，过毯上任何两点 A和B能且只能作一个半圆周，使其圆心在u上，并且圆周与u成直角，这就验证了}o中之结合公理工，与I:是成立的，亦即所选对象满足下述公理之要求：I在L平面上任给二不同的L点A和B，则至少有一条L直线a连结A和B。在L平面上任给二不同的I。点A和B，至多有一条L直线a连结A和B。设a表示任上任一半径有限长的I。直线，其圆心为u上点O且与u正交于X和Y两点，A为毯上不在a上的一个L点。如图所示。

在欧氏意义下连结A与X，并作线段AX之中垂线交u于点O′，再以O′为中心，以O′A=O′X为半径作圆a′，与a所在圆周a相切于点X。在欧氏意义下X是a和a′之惟一的公共点，在C上的a′为L平面上过L点A的一条L直线，可断言L直线a与a′在L平面上没有公共点。此处应注意X在u上而不为C上的L点。完全类似地，过L点A且与u正交于Y的L直线a"在C上也与a没有公共点。这表明过A至少存在两条L直线a′和a"在C上与a不相交。另一方面，若当L直线a之半径无限长且与u正交于Z时，而A为C上不属于a的一点，则亦如图所示，在C上也至少存在着两条L直线a1和a2，它们过A而在C上与a不相交。所以不论在哪种情况下，都能验证所选对象满足罗氏公设。亦即有：1

过L平面C上任一已知L直线外的任一L点，至少能引两条L直线与该已知L直线在L平面上没有公共点。

因此，就在欧氏平面上构造了一个罗氏平面几何公理系统的模型，称为庞加莱模型。当然，还应指出的是，对于Σ的各条公理的验证，有的是相当复杂的，并非都像如上举例的几条那么轻而易举。特别是对于Σ0中诸合同公理的验证，还要涉及解析函数论中的反形变换概念及保角变换理论等.但不论如何，均能一一验证是无疑的。

罗氏几何非欧几何的一种，亦称“双曲几何学”。是俄国数学家罗巴切夫斯基创立的。罗氏几何的创立是从研究“欧氏几何”第5公设即著名的平行公理(见“欧几里德几何”)是否能用其他公理证明开始的。平行公理不仅在形式上比其他公设复杂，而且在《几何原本》中，从第29个命题开始才用到这个公理，于是人们产生了能否把它作为定理而从其他公设和基本概念导出来的愿望。从古代开始，很多数学家企图证明第5公设，但经历了两千多年的时间都未成功。直到1826年，喀山大学的数学教授罗巴切夫斯基才彻底解决了这一问题，他于同年2月23日，在物理数学系的会议上宣读了 《关于几何原理的议论》，这篇报告在1829年刊登在喀山大学学报上。

罗巴切夫斯基早在1815年就开始研究第五公设，最初他企图用反证法证明第5公设，但是，从与欧氏平行公理相矛盾的命题出发，展开推论，虽然得出一些在当时看来是不可思议的结果，却始终没有发现逻辑上的矛盾，罗巴切夫斯基由此得出两个结论：①平行公理不能被证明;②新的与欧氏几何对立的几何学本身无矛盾，在逻辑上是可能成立的。并于1835年出版专著《新几何原本》，后人称之为罗巴切夫斯基几何学，简称“罗氏几何”。

罗氏几何引用了与平行公理相反的公理：“过直线外一点至少可以作两条直线和已知直线不相交。”同时证明三角形三内角之和小于180°，并提出了自己的公理系统，建立了一种全新的几何学，它与欧氏几何一样是一种严密的数学理论。罗氏几何的创立是运用演绎推理建立的几何体系，有着方法论的意义，而且，也为人们深入认识空间的性质，从数学上开辟了一条道路。

庞加莱法国著名数学家、天文学家、物理学家和科学哲学家。1875年毕业于巴黎多科工艺学校，1879年以关于微分方程一般解的论文获得博士学位，同年到卡昂大学任教.1881年入巴黎大学任教授，直到去世。他一生写下了将近500篇科学论文和30部专著，这还不包括颇受欢迎的科学哲学著作和趣味盎然的科普著作。他的贡献几乎遍及了当时数学和物理学的全部领域。

庞加莱对数学的第一个重大贡献是在1880年以后创立了自守函数理论，解决了解析函数的单值化问题。

1884年法国《数学学报》连续发表了他关于这一课题的5篇论文，立即使他获得了世界性的声誉。他又是多复变解析函数论的创始人，并在1883年的一篇短文中首先研究整函数的格与其泰勒展开的系数或者函数的绝对值的增长率之间的关系，成为整函数与亚纯函数理论的开端。他最杰出的贡献是创立了微分方程定性理论，他于1880—1886年发表的四篇大论文，使这一分支在一开始就发展到了几乎完善的地步。1885年以后.他关于微分方程的论文都涉及天体力学，特别是三体问题，首创天体力学的严格处理方法，并因对三体问题的研究于1889年第一个获得瑞典国王奥斯卡二世为“n体问题”设立的奖金。为了进一步研究线性微分方程，他对发散级数进行了深入讨论，开创了渐近展开理论。在代数学中，他第一次引入了左理想与右理想的概念。1901年他的一篇数论论文成为有理数域(或代数数域)上的代数几何学的开端。1901—1911年他关于代数曲面F(x，y，z)=0中所含的代数曲线的几篇论文对代数几何作出了突出贡献。对代数拓扑学，他创造了单形的同调论的一整套方法，并由此引发了一系列重要结果.他又是数学基础的直觉主义学派的先驱之一。此外，他对相对论和量子理论做出了具有启发性的贡献。他的科学哲学思想对20世纪众多的科学家和哲学家产生了深远的影响。他被誉为“理性科学的活跃智囊”，“本世纪初唯一留下的全才”，是对数学和它的应用具有全面知识的一个人。1

本词条内容贡献者为:

孙和军 - 副教授 - 南京理工大学