[科普中国]-正线性算子逼近

正线性算子逼近(approximation by positive linear operators)是一类常用的逼近，设f∈C[a，b]，如果对一切x∈[a，b]都有f(x)≥0，则记f≥0，设L是C[a，b]到C[c，d]的线性算子，[c，d]⊂[a，b]，如果对f≥0有L(f)≥0，则称L为正线性算子。此时，用L(f，x)在[c，d]上逼近f(x)称为正线性算子逼近。

基本介绍正线性算子逼近是一类常用的逼近。设 ，如果对一切 都有 ，则记 。设L是 到 的线性算子， 如果对 有 则称L为正线性算子，此时，用 在 上逼近 称为正线性算子逼近。设 是 到的正线性算子，如果对于，都是次代数多项式，那么称为n阶正多项式算子。用这种算子在上逼近函数，其临界阶是。事实上，记那么至少有一个使得时，

这是科罗夫金(Коровкин，Π.Π.)证明的。对于的情形，有类似的概念与结论，只是代替n次代数多项式是n阶三角多项式，而三个试验函数是1，cos x及sin x，正是由于正多项式算子的逼近阶不高于n，所以正多项式算子虽然是一种良好的逼近方法，但其应用还是有局限性的，不能像代数多项式逼近连续函数那样，其最佳逼近的阶会随被逼近函数光滑性增加而提高。

相关定理为了证明正线性算子序列的一致收敛，只需证明它对于几个具体的函数一致收敛即可，这就是

定理1 设是中的正线性算子序列，如果对于在 上一致收敛于则对于每个函数在上一致收敛于。

定理2 设是中的正线性算子序列，如果对于和在全实轴上一致收敛于则对于每个函数在全实轴上一致收敛于。

性质(A) 记S是紧致度量空间，设是定义在S上的m个连续实函数，如果存在m个连续的实函数使得在S上，

并且，当且仅当时，，则说具有性质(A)。

定理3 设函数满足条件(A)，是映照到其自身的正线性算子序列，如果在S上一致收敛于，则对于任一，在S上也一致收敛于。

定理4 设，则在S上一致收敛于。

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尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学