[科普中国]-(r,s)型张量丛

基本介绍

(r，s)型张量丛(tensor bundle of type (r,s) )是切丛与余切丛概念的推广。谓(r，s)型张量丛，是指微分流形M上各点处切空间的(r，s)型张量空间的无交并，即M上(r，s)型张量丛

其中 表示 的(r，s)型张量空间。

(1，0)型张量丛就是切丛，而(0，1)型张量丛就是余切丛。与切丛类似，张量丛上也可以定义流形结构与微分结构，使张量丛成为一个微分流形1。

相关概念丛投影设M是n维 流形， 和 分别是M在a点的切空间和余切空间，因此在流形M的每一点a有(r，s)型张量空间。

这是 维向量空间2。

令 在 上引进拓扑使它成为有可数基的Hausdorff空间，称 为流形M上的**(r，s)型张量丛**。

考虑流形M的一个坐标系 在任意一点 和 分别有彼此对偶的自然基底 和 因此， 有基底

且对任意的 有

其中 。

定义 设 是M上的（r,s）型张量丛，映射 ，定义为 有 称 为张量丛上的自然投影，简称丛投影。

设 是 映射，如果

(M 上的恒等映射)

即对任意的 则称 是张量丛 的一个光滑截面，或称M 上的**(r，s) 型光滑张量场**。

切丛 的截面就是M的切向量场，余切丛 的截面就是M上的微分1一形式2。

切丛、余切丛在(r，s)张量丛中，令就得到流形M上的( 1，0)型张量丛一切丛(tangent bundle)，亦即，切丛表示为

若令就得到流形M上的(0，1)型张量丛——余切丛(cotangent bundle)，亦即，余切丛表示为