[科普中国]-齐次微分方程

定义

形如 的一阶微分方程称为齐次微分方程，简称微分方程。

方程特点齐次微分方程的特点是其右端项是以为变元的连续函数。

例如， 是齐次微分方程，它可以转化为：，即。1

方程的解齐次微分方程通过变量代换，可化为可分离变量微分方程来求解。

令或，

其中是新的未知函数，对两边求导，则有：，

将其代入，得：，

分离变量，得：

两边积分，得：，

求出积分后，再将回代，便得到方程的通解。

求解步骤（1）作变换，将齐次方程转化为分离变量的微分方程；

（2）求解可分离变量的微分方程；

（3）用代替步骤（2）中所求通解中的（即变量还原），就可以得到原方程的通解。1

注意事项如果有，使得，则显然也是方程的解，从而也是方程的解；如果，则方程变成，这是一个可分离变量微分方程。

典例例1求解方程。

解：令，则，，

原方程变为：，即；

分离变量可得：，

左右两端同时积分可得：，

将 代入，便可得到原方程的通解为：，其中 C 为任意常数。1

例2求方程的通解。

解：令，则，，

原方程变为：，即；

分离变量可得：，

左右两端同时积分可得：，

将 代入，便可得到原方程的通解为：，其中 C 为任意常数。2