[科普中国]-次线性函数

次线性函数(sublinear function)是一类重要的凸函数。正齐次且是次可加的函数称为次线性函数。局部凸空间(包括赋范线性空间、有限维空间)上的下半连续次线性函数一定是连续线性函数族的上包络。如果-f是次线性函数，那么f称为上线性函数。

基本介绍有一类特别重要的凸函数，称为次线性函数，它满足

(正齐次性)；

，(次可加性)。

任何线性形式(函数)当然都是次线性函数。反之，易证：如果，且和都是次线性函数，那么一定是线性函数。

相关性质次线性函数必定是凸函数；于是次线性函数本质上也将是仿射函数族的上包络。但由于次线性函数还一定满足等条件，我们还能得到更强的结果。

命题1设线性空间X上的函数，且，那么是次线性函数的充要条件为：存在一族线性形式，使得

推论设是满足的次线性函数，那么是代数闭凸集。

定理 设K为线性空间X中的集合，且是它的承托函数，即

那么

的充要条件为：K是代数闭凸集。

Minkowski函数非负的次线性函数称为Minkowski函数，这种函数与包含原点的凸集紧密相关，设为凸集，且，令

这里规定，于是有：

命题2 是Minkowski函数。

命题3 设A为X中的凸集，且，如,式(2)所定义，那么

命题4设为Minkowski函数，凸集A满足

那么必定有

命题3把一个相对代数内部非空的凸集与一个Minkowski函数联系起来，且它的相对代数内部与代数闭包也都可用这个Minkowski函数表示，命题4又说明这样的Minkowski函数联系的是一族有相同的相对代数内部和代数闭包的凸集。值得注意的是：命题4中并无A的相对代数内部包含原点的要求，于是式(3)的两端又可看作相对代数内部和代数闭包概念的某种推广(这里用A的锥包代替A的仿射包来考虑)1。

举例每个（半）范数是一个次线性函数。 相反的情况是不正确的，因为（半）规范可以在任何字段（不一定是有序的）上具有其域向量空间，并且必须具有R作为其代码域。

范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，范数是一个函数，是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。半范数可以为非零的矢量赋予零长度。

定义范数的矢量空间是赋范矢量空间；同样，定义半范数的矢量空间就是赋半范矢量空间。

在二维的欧氏空间R中定义欧氏范数，在该矢量空间中，元素被画成一个从原点出发的带有箭头的有向线段，每一个矢量的有向线段的长度即为该矢量的欧氏范数。

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学