[科普中国]-回收锥

基本介绍

给定非空凸集C，我们说向量d是C的一个回收方向(direction ofrecession)，如果对所有的和都成立。因此，d是C的一个回收方向，如果我们从C中任意的x点出发，沿着d的方向走到无穷，而永远都不穿过C的相对边界跑到C之外的点上去。

所有回收方向的集合是一个包含原点的锥体(core)，我们称它为C的回收锥(recession cone)，并记作(参见图1)。于是，如果对所有的和成立。闭凸集的一条重要性质就是为检验是否成立，只需要验证对单一的成立就可以了。这就是下述命题的(b)部分2。

图1 凸集C的回收锥的图示。回收方向d满足对所有和成立。

回收锥定理命题1(回收锥定理(Recession Cone Theorem))令C为非空闭凸集。

(a) 回收锥是闭的和凸的。

(b) 向量d属于当且仅当存在向量使得对所有成立。

证明：(a) 如果属于而是正的标量使成立，我们有对任意的和

其中最后的包含关系成立是因为C是凸的，而根据的定义和属于C。于是这表明是凸的。

令d属于的闭包，并令为收敛到d的点列。对于任意的和，我们有对所有k成立，并且因为C是闭的，。于是，从而是闭的。

(b) 如果，根据的定义，每个向量都具有所要求的性质。反之，令d使得存在向量满足对所有成立。不失一般性，假定d≠0。任取和，我们要证明。事实上，只要证明，即假定，因为通过用代替d可以把的一般情形可以归结为的情况。

根据我们对x和d的选取，令

可知对所有k成立，如果对某个k成立，那么就属于C，而我们的证明完成。因此假设对所有k成立，并且定义

使得是以为球心以为半径的球面与从出发通过的射线的交点(参见图2中的构造方法)，现在我们来论证,，并且对于充分大的k，，于是利用C的闭性，可导出。

的确，据的定义，我们有

因为是无界点列，

图2 命题1(b)的证明中用到的构造。

于是结合前面的关系，我们有对所有满足的k，在连接的线段上，向量处在和之间，因此由C的凸性，我们有对所有充分大的k成立。因为和C是闭的，可知。

上述命题中集合C为闭的假设是实质性的。如果没有这个假设，(a)部分不成立的一个例子是，考虑集合

它的回收锥等于C，而它是非闭的。该例子中(b)部分也不成立，因为对于方向d=(1，0)，我们有对所有和除之外的所有成立2。

回收锥其他性质下述命题给出回收锥的一些其他性质。

**(回收锥的性质)**令C为非空闭凸集。

(a) 包含一个非零的方向当且仅当C是无界的。

(b)。

(c) 对任意一组闭凸集，其中为任意指标集，并且我们有

(d) 令W为m维欧氏空间的一个紧的凸子集，并令A为m×n维矩阵，集合

(假设该集合为非空) 的回收锥是其中是A的化零空间(nullspace)2。