[科普中国]-回收方向

回收方向(direction of recession)是指实线性空间的集合中的射线所定义的方向。设A为实线性空间X的集合，若h∈X且存在x∈A，使得对于任何λ≥0，有x+λh∈A，那么h称为A的回收方向1。

定义给定非空凸集，我们说向量是的一个回收方向(direction ofrecession)，如果对所有的和都成立。因此，是的一个回收方向，如果我们从中任意的点出发，沿着的方向走到无穷，而永远都不穿过的相对边界跑到之外的点上去。

所有回收方向的集合是一个包含原点的锥体(core)，我们称它为的回收锥(recession cone)，并记作 (参见图1)。于是，如果对所有的和成立。闭凸集的一条重要性质就是为检验是否成立，只需要验证对单一的成立就可以了2。

分析理解命题令为闭的真凸函数，考虑水平集

则:(a) 所有非空水平集都具有相同的回收锥，记作，由

给出，其中是的上图的回收锥2。

(b) 如果某个非空水平集是紧的，那么所有这些水平集都是紧的。

注意在命题(a) 中，的闭性对于水平集具有共同的回收锥是实质性的，读者可以用一个例子来验证这一点，考虑如下凸的但非闭的函数.它由

给出.这里，对我们有因此但因此

对于闭的真凸函数，非空水平集的(公共) 回收锥称为的回收锥(参见图2)。向量称为的回收方向。

理解回收方向的最直观的方式是从一个下降的角度看问题：如果我们从任意处出发，并且沿着回收方向随意运动，我们必然保持位于每个包含的水平集内，或者等价地，我们必然只遇到满足的点换句话说，的回收方向就是对连续不上升的方向.反过来，如果我们从某个出发，而且在沿着方向d移动的时候，我们遇到点z满足，那么d不可能成为回收方向。由的水平集的凸性，一旦我们跨过水平集的相对边界，我们就永远不会再次跨越该边界，而且易知，一个方向若不是回收方向，将是最终连续上升的方向[见图3(e),(f)]。

|| ||

闭的真凸函数在某个处沿着方向d的上升/下降行为，如果d是f的回收方向，就存在着两种可能性: 要么f单调减少到某个有限值或[分别对应图和]，要么f达到小于等于的某个值并且保持为该值[图和]，如果d不是f的回收方向，那么最终f会单调增加到[图和]，即对某个和所有满足的我们有，这样的行为仅决定于d，独立于x 在中的选取2。

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学