[科普中国]-概率位势论

概率位势论（probability potential theory）是研究位势论与概率论的内在联系的新数学分支。

简介概率位势论是研究位势论与概率论的内在联系的新数学分支。

发展20世纪四五十年代，杜布(Doob,J.L.)、角谷静夫等人发现了经典位势论与布朗运动的深刻联系。

1954年，杜布的论文“半鞍与次调和函数”被公认为是开创了概率与位势联系的研究的新篇章。

20世纪50年代中期以后，亨特(Hunt,G.A.)等人进一步把它推广到相当一般的马尔可夫过程，给出更具普遍意义的“位势”的定义。

从此，位势论的许多概念、性质获得了明确的概率意义，而分析工具的引入大大促进了概率论的深入发展且又反过来影响位势论。

上鞍与上调和函数的对应，它们的单调列的极限及里斯分解等性质的极端相似性揭示了鞍论与位势论的内在联系；马丁边界被翻译成概率的语言并用于研究马氏过程；由于调和空间引入了次马氏半群和马氏过程，概率方法进入了公理化位势论；C∞黎曼流形上由于麦金(Mckean,H.P.)等人用随机微分方程建立扩散过程而提供了用概率方法研究流形上位势论的一种方法；由博灵(Beurling,A.)和戴尼(Deny,J.)开创，富山、马志明等人发展的狄氏型是研究概率与位势结合的一种重要形式；波利特诺(Bliedtner,J.)和汉森(Hansen,W.)建立的扫除空间论，则用扫除作为工具将分析与概率位势论统一起来。

总之，近几十年来，位势与概率的联系作为一个独特的专题已经并且正在得到深入研究。1

位势论位势论是数学的一支，它可以定义为调和函数的研究。

“位势论”一词的来源在于，在19世纪的物理学中，自然界的基本力被相信为从满足拉普拉斯方程的位势导出。因此，位势论研究可以作为位势的函数。今天，我们知道自然界更为复杂——表述力的方程可以是诸如爱因斯坦场方程或者杨－米尔斯方程这样的非线性偏微分方程的系统，而拉普拉斯方程只是在受限情况下的近似。但是，“位势论”一词还是保留了作为对满足拉普拉斯方程的函数的研究的方便叫法。

本词条内容贡献者为:

杜强 - 高级工程师 - 中国科学院工程热物理研究所