[科普中国]-彼得-外尔定理

彼得-外尔定理指的是经典三角多项式可一致逼近连续函数的定理在紧李群上的一种推广。

简介彼得-外尔定理指的是经典三角多项式可一致逼近连续函数的定理在紧李群上的一种推广。

在经典的傅里叶级数理论中，一个熟知的结果是，任一以2π为周期的连续函数可用三角多项式来一致逼近，这一经典结果在紧李群上的推广，即是著名的彼得-外尔定理。

具体内容设G是一个紧李群，则G的不可约表示必是有限维的，且G的有限维表示必等价于一个酉表示。所以，在表示空间中取一组适当的规范正交基时，G的不可约表示将G的元映成酉矩阵。设{Uλ|λ∈Ĝ}是紧李群G的不可约酉表示完全组，则Uλ(x)的每个矩阵系数定义了G上的实解析函数。相应于L2(G)的内积，Uλ(x)的不同矩阵系数彼此正交；当λ1,λ2∈Ĝ且λ1≠λ2时，与的不同矩阵系数也彼此正交。这时彼得-外尔定理可叙述为：紧李群G的不可约酉表示完全组{Uλ|λ∈Ĝ}的矩阵系数全体是L2(G)的完备正交函数系，G上的任一连续函数可用该正交系中函数的有限线性组合来一致逼近。

上述紧李群G的完备正交函数系在紧李群上调和分析中的地位，等同于{einx|n=0,±1,...}在经典傅里叶分析中的地位。1

紧李群(compact Lie group)

紧李群是拓扑结构为紧的李群。

设G为李群，作为流形它有拓扑结构，若这个拓扑为紧拓扑，则G称为紧李群。

紧李群只有有限多个连通分支，紧李群的李代数为紧李代数，且连通李群紧当且仅当它的李代数为紧李代数。复紧李群必可交换，它就是复环面。

本词条内容贡献者为:

杜强 - 高级工程师 - 中国科学院工程热物理研究所