基本介绍
**(黎曼局部化原理)**设 是在区间
上按一段连续的以
为周期的周期函数,A是一常数,则从
导出的傅里叶级数
在定点x处收敛于A的充要条件是: 对于任意
都有
注意(2)式(和下面的(3))式中的积分是在
上取的,因此只涉及到
在
这一区间上的值,和
在这一区间以外的值无关。而
又是任意的,因此黎曼局部化原理(和下面命题1)说明从
导出的傅里叶级数(1)在定点x处是否收敛(于某常数A),只和
在点x附近的性质有关,这就是黎曼局部化原理(和下面命题1)称为局部化原理的原因2。
相关命题与定理如果 是在
上按段连续的以
为周期的函数,A是一常数,则从
导出的傅里叶级数(1)在x点收敛于A的充要条件是:对子任意
都有
为了把(3)式写成更便于应用的形式,注意
所以对于固定的x,
是
的在
上按段连续的函数,于是由黎曼引理,
从而,(3)式成立与
成立是等价的,于是命题1可改进为黎曼局部化原理2。
收敛性定理根据黎曼局部化原理,立即可得下述收敛性定理:
如果 是在
上按段光滑的以
为周期的周期函数,则从
导出的傅里叶级数(1)是处处收敛的,其和是
即有
注意,如果
在点x 处连续,则
因此当
满足收敛性定理的条件时,从它导出的传里叶级数必在
的一切连续点处收敛于
2。