[科普中国]-梯度向量场

梯度向量场是由希尔伯特流形上的Cn泛函的梯度所形成的切向量场。梯度向量场生成的动力系统比较简单，它们没有周期轨，而且所有摩尔斯-斯梅尔梯度向量场（一类简单的结构稳定的向量场）在所有梯度向量场是开稠的。

定义设 是 n 维欧几里得空间 上的一个光滑函数。由 f 所确定的上的梯度向量场 定义为

其中

为 f 的梯度。这里之所以出现负号是一种习惯用法。

性质一般的，设 M 是一个闭黎曼流形， 是一个光滑函数。由 f 所确定的 M 上的梯度向量场由

确定，其中 是由黎曼度量确定的内积，是切空间和余切空间的对偶。在局部坐标 下表示为

其中 是度量矩阵的逆矩阵。

动力系统梯度向量场生成的动力系统比较简单，比如，它们一定没有周期轨。而且所有摩尔斯-斯梅尔梯度向量场（一类简单的结构稳定的向量场）在所有梯度向量场是开稠的。1

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学