[科普中国]-稳定多项式恒等式

稳定多项式恒等式(stable polynomial identity)是对多项式扩张仍保持的恒等式。环R的一个恒等式f，若对R的多项式扩张环R[λ]，f也是恒等式，则称f为R稳定。若对每个使f为恒等式的环R，f皆R稳定，则称f为稳定多项式恒等式。

概念稳定多项式恒等式(stable polynomial identity)是对多项式扩张仍保持的恒等式。环R的一个恒等式f，若对R的多项式扩张环R[λ]，f也是恒等式，则称f为R稳定。若对每个使f为恒等式的环R，f皆R稳定，则称f为稳定多项式恒等式。类似地，可对有对合环(环R的反自同构*使得*=1(恒等自同构)，称*为R的对合)(R，*)定义*稳定：(R，*)的一个多项式恒等式f，若也为(R[λ]，*)的恒等式，则称f为(R，*)稳定。若*多项式f对每个以f为恒等式的对合环(R，*)皆为(R，*)稳定，则称f为*稳定。R稳定的和仍为R稳定；(R，*)稳定的和仍为(R，*)稳定。

环环是对并与差运算封闭的集类，测度论中重要概念之一。设F是Ω上的一个非空集类。如果它对集的并及差运算封闭，即对任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，则称F为Ω上的环。例如，若F是由实直线R上任意有限个左开右闭的有限区间的并集：

的全体构成的集类，则F是R上的一个环.环也是对于交与对称差运算封闭的集类，并按这两种运算成为布尔环。要把R上的勒贝格测度和勒贝格-斯蒂尔杰斯测度以及相应的积分理论推广到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集类并研究其性质。环以及半环、σ环、代数、σ代数等重要集类正是为了这一目的而引入的。1

合环合环是一类特殊环。对于一个双模，若它有一个合成列且其中的合成因子都是平衡双模，则称它是正合的。若对环R而言，RRR是平衡双模，则称环R为正合环。

正合模的概念是东屋五郎(Azumaya，G.)为了研究序列环于1983年提出的。卡米罗(Camillo，V.P.)、富勒(Fuller，K.R.)和哈克(Haack，J.K.)在这基础上引进了正合环的概念。阿廷序列环是正合的，哈比卜(Habeb，J.M.)于1987年证明了阿廷双环是正合的。东屋五郎曾提出猜想：正合阿廷环是自对偶环。狄斯勤格(Dischinger，F.)和缪勒(Mu¨ller，W.)于1984年以及瓦什标什(Waschbu¨sch，J.)于1986年证明了对于阿廷序列环，薛卫民于1989年证明了对于雅各布森根的平方为0的阿廷双环猜想是成立的。

环论环论是研究环的性质及其运算规律的代数分支学科。近代环论也包含了非结合代数。“环”是抽象代数研究中的基本对象之一。

环和理想的构造在19世纪已为人熟知，并应用在戴德金(Dedekind，R.)和克劳尼克(Kronecker， L.)等关于代数数的著作中。克劳尼克(Kronecker，L.)将环称为“order”，希尔伯特(Hilbert，D.)才引进了“ring (环)”这一词。但是抽 象的理论是在20世纪发展起来的。至诺德爱米(Noether，N.)将其置于系统化和公理化的基础上。

环论和群的概念有密切关系， 设S是一个集合，它在加法之下 构成Abel群，在乘法运算之下是 半群，对加法满足分配律，即对：

∀a， b， c∈S

a(b+c)=ab+ac

(a+b)c=ac+bc

在环中，对乘法而言

ab=0⇏a=0或b=0如果有a∈S， 存在b∈S，使ab=0 (ba=0)，则 说a是S中的一个左 (右) 零因 子。不含零因子的交换环称为整环。数域上的多项式环也是整环。 n阶矩阵环则不是整环。

正如不变子群在群的研究中所起作用一样，理想的概念对环的研究至关重要。对环S中的非空子集 A，如果A关于S中的两种运算构成环，则A是S的子环。进一步， 对S中的子环A， 如果∀m∈S， a∈ A，有xa，ax∈A，则A称为环S的一个理想。显然S中理想的交集仍是S的理想，当A是环S的一个理想时，由加法运算作出商群 S/A，此商群对乘法而言，易证其为半群，从而S/A构成环，称为商环，或称S关于A的剩余类环。

环的同态和同构是研究环的重要工具。

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学