[科普中国]-多重线性等价

多重线性等价(mufti-linear equivalent)是具有相同多重线性恒等式的代数类。代数学是数学中一个重要的、基础的分支。代数学一般分为初等代数学(或称古典代数学)和抽象代数学(曾称近世代数学)。

定义多重线性等价(mufti-linear equivalent)是具有相同多重线性恒等式的代数类。设R1与R2是Λ代数，若R2的多重线性恒等式也是R1的恒等式，则记为R1≤multΛR2。当R1是R2的子代数时，恒有R1≤multΛR2.当R1≤multΛR2，R2≤multΛR1时，称R1与R2是Λ上多重线性等价的，记为R1≈multΛR2。若R2的任一恒等式也是R1的恒等式，则记为R1≤ΛR2；若R1≤ΛR2，R2≤ΛR1，则称R1与R2是等价的，记为R1≈ΛR2。R1≈ΛR2R1≈multΛR2，反之不一定成立。1

PI代数PI代数式代数的特殊类。设A是有单位元交换环Λ上代数，X是不定元集，f(x1，x2，…，xn)是自由代数Λ{x}的一个多项式，x∈X。若对A中任意r1，r2，…，rn恒有f(r1，r2，…，rn) =0，则称f是A的一个恒等式，或称A适合多项式恒等式f。对Λ代数A，若存在一个多项式恒等式，则称A为PI代数。例如，交换代数适合恒等式x1x2-x2x1.交换代数和域F上有限维代数均为PI代数。PI代数的子代数、商代数、同态像、直积也为PI代数。

德恩(Dehn，P.M.)于1922年为解决希尔伯特(Hilbert，D.)提出的几何问题，首先提出满足一个多项式恒等式的概念；瓦格纳(Wagner，W.)于1939年得到M2(F)满足的第一个著名恒等式。在雅各布森(Jacobson，N.)研究工作基础上，卡普兰斯基(Kaplansky，I.)于1948年开辟了以PI理论研究环结构的新方向。希尔绍夫(Ширщов，А.И.)于1957年证明了著名的库洛什问题对PI代数有肯定的回答。佛玛乃克(Formanek，E.)与芮兹米斯洛夫(Razmyslov，Y.P.)于1972年独立获得了Mn(F)的中心多项式定理，从而建立了PI理论与交换环理论间的联系。罗文(Rowen，R.L.)于1980年出版了专著《环论中PI》，总结了PI代数发展的成果和尚未解决的问题。2

代数数学的一个分支。传统的代数用有字符 (变量) 的表达式进行算术运算，字符代表未知数或未定数。如果不包括除法 (用整数除除外)，则每一个表达式都是一个含有理系数的多项式。例如： 1/2 xy+1/4z-3x+2/3. 一个代数方程式 (参见EQUATION)是通过使多项式等于零来表示对变量所加的条件。如果只有一个变量，那么满足这一方程式的将是一定数量的实数或复数——它的根。一个代数数是某一方程式的根。代数数的理论——伽罗瓦理论是数学中最令人满意的分支之一。建立这个理论的伽罗瓦(Evariste Galois，1811-32)在21岁时死于决斗中。他证明了不可能有解五次方程的代数公式。用他的方法也证明了用直尺和圆规不能解决某些著名的几何问题(立方加倍，三等分一个角)。多于一个变量的代数方程理论属于代数几何学，抽象代数学处理广义的数学结构，它们与算术运算有类似之处。参见，如： 布尔代数(BOOLEAN ALGEBRA)；群 (GRO-UPS)；矩阵(MATRICES)；四元数(QUA-TERNIONS )；向量(VECTORS)。这些结构以公理 为特征。特别重要的是结合律和交换律。代数方法使问题的求解简化为符号表达式的操作，已渗入数学的各分支。

代数学是数学中一个重要的、基础的分支。代数学一般分为初等代数学(或称古典代数学)和抽象代数学(曾称近世代数学)。

1.初等代数学是更古老的算术的推广和发展，研究数学和文字的代数运算(加法、减法、除法、乘法和开方)的理论和方法，更确切地说是研究实数或复数和以它们为系数的多项式的代数运算的理论和方法。其研究方法是高度计算性的，中心问题是实或复系数多项式方程(或称代数方程)和方程组的解的求法及其分布的研究，因此也可简称为方程论，它的演变历史久远，中国和其它文明古国都有贡献，欧洲则于16世纪、17世纪才系统地建立起这门学科，并继续发展到19世纪的上半叶。随电子计算机广泛而深入的使用，有些内容的新发展已并入计算数学的范围。

2.抽象代数学是在初等代数学的基础上，通过数系概念的进一步推广或者可以实施代数运算的对象的范围的进一步扩大，逐渐发展形成的。它自18、19世纪之交萌芽，于20世纪20年代建立起来。它的研究对象是非特定的任意元素集合和定义在这些元素之间的满足若干条件或公理的代数运算，亦即它以各种代数结构(或称系统)的性质的研究为中心问题，其研究方法主要是公理化的。例如，考虑任意一些元素a，b，c……组成的一个非空集合S和一个或几个运算，如记作o，……等。假设S中任两个元素a，b依次序用运算。连接起来的结果aob仍然是S中一个完全确定的元素C(封闭性)，并假设对S中元素实施的运算单独或相联系地遵守通常四则或有理运算所适合的一些法则或公理(如加法或乘法满足结合律、交换律等)，则S对运算o成为一种代数结构。由各种代数结构出发研究它们的性质，即是所谓抽象代数学。3

至今，已有群、环、域、模、代数、格以及泛代数、同调代数、范畴等重要代数结构。在各类代数结构的研究中，同类中两个代数结构的同构及其推广的同态的概念是基本的。抽象代数的理论和方法由于其一般性而对全部数学的发展有着显著的影响，并对理论物理、结晶学也产生着重要的影响。

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尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学