[科普中国]-局部有限代数

概念

局部有限代数是与局部有限群相平行的概念。若域F上代数A中任意有限个元生成的子代数是有限维的(或幂零的)，则称A是局部有限代数(或局部幂零代数)。局部有限代数是代数的代数，逆命题不真。1

有限群具有有限多个元素的群，是群论的重要内容之一。其所含元素的个数，称为有限群的阶。历史上，抽象群论的许多概念起源于有限群论。有限群可分为两大类：可解群与非可解群(即单群)。

有限群的研究起源很早，其形成时期是与柯西、拉格朗日、高斯、阿贝尔以及后来的伽罗瓦、若尔当等人的名字相联系的。如何确定可解群和单群是抽象群理论建立后的一个重要发展方向。德国数学家赫尔德在1889年以后的若干年内，详细地研究了单群和可解群，证明：一个素数阶循环群是单群，n个(n≥5)文字的全部偶置换组成的交换群是单群。他还发现了许多其他有限的单群。赫尔德和若尔当还建立了在有限群中的若尔当—赫尔德合成群列和若尔当—赫尔德定理。在19世纪末，德国数学家弗罗贝尼乌斯、迪克和英国数学家伯恩塞德等都致力于可解群的研究。20世纪初伯恩塞德证明的关于pq(p、q是素数)必是可解群的定理，导致了对有限单群进行分类的重要研究。美国数学家汤普森和菲特在20世纪60年代初证明了有限群中长期悬而未决的一个猜想(见伯恩塞德猜想)：奇数阶群一定是可解群。它推动了有限群理论的发展。有限单群的完全分类，即找出有限单群所有的同构类，经过上百名数学家约40年的共同努力，终于在1981年得到解决，这是数学史上的一个非凡成就。

局部有限群一种特殊的周期群。它们构成周期群类的一个真子类。若群G的任意有限多个元素生成的子群是有限的，则称G是局部有限群。局部有限性是在群的有限性条件中最接近群阶的有限性的一种性质。局部有限群理论是无限群论中比较成熟的分支之一，它在好几个方面都得到较为深入的发展。例如，局部有限群的西洛理论，无限局部有限群中无限阿贝尔群的存在性理论等。这一理论的最大特点是有限群论的许多深刻结果和强有力的技巧被广泛地应用。

周期群亦称挠群。一种常见的重要群类。若群G的所有元素的阶都是有限的，则称G为挠群；反之，若G的所有非平凡元素的阶都是无限的，则称G为无扭群。存在既不是挠群，也不是无扭群的群，即既包含非平凡的有限阶元素，又包含无限阶元素的群，称为混合群。若群G的一切有限阶元素组成群G的子群T，T是G的最大的周期子群，称为G的最大周期子群。T是G的特征子群，且G/T是无扭群。群的最大周期子群一般未必存在，但任意阿贝尔群恒有最大周期子群存在。2

群论研究具有一种结合法的特殊代数系——群的科学。代数学的分支学科。如果在元素集合G中定义了一种叫乘法的运算，并且这个运算满足下面四个条件： (1) 对任意f，g∈G，必有 fg∈G；(2) 对任意f，g，h∈G，都有 (fg) h=f (gh)；(3) G中有唯一的e，使得对G中任意元素f 都有ef=fe=f; (4) 对G中任意元素f，在G中有唯一的f-1使得f-1f=ff-1=e。那么，称G为群。各种群的结构、各种群运算的性质及群的应用，是群论研究的对象。

群论研究的内容十分丰富。概括起来主要包括有限群论、有限生成群、一般群论、群表示论等。本世纪20年代量子力学诞生之前，群论只是一个纯粹的数学分支。而后，在物理学中，群论的方法导致了有关原子和分子结构的重大发展。现在，群论已经是量子物理学和量子化学经常用到的工具。因此，群论是蓬勃发展的、具有广阔应用前景的学科。 3