[科普中国]-严格凸赋范线性空间

严格凸赋范线性空间(strictly convex normed linear space)是满足严格凸性的一类赋范线性空间，简称为严格凸空间，常用于讨论最佳逼近元的唯一性，以及有界线性泛函保范延拓的唯一性等问题。内积空间是严格凸空间。1

定义定义1 设X为赋范线性空间，如果对任何非零元x，y，当

时，必有 ，其中 为一正数，则称X为严格凸赋范线性空间，简称为严格凸空间。1

举例（1）内积空间是严格凸空间。

（2）当p>1时，与均为严格凸空间。

严格凸的判定法1-利用等价条件定理1 赋范线性空间****X是严格凸的充要条件是对X中单位球面上任意两个不同的点x，y，均有

证明：（1）必要性。若不然，则存在单位球面上两个不同的点 ，及 ，使得

故有

由空间的严格凸性，存在 ，使得 即

由 得

故而 此为矛盾。

（2）充分性。若不然，则存在非零元 与 ，使得

但 于是，由充分性假设，

即

此为矛盾，证毕。1

法2-利用一致凸空间定义2 设X为赋范线性空间，如果对任何 当 且

时，均有

则称X为一致凸空间。

这个定义也可叙述为：如果对任何 存在 当X中的单位向量x，y满足时， 则称X为一致凸空间。1

定理2 一致凸空间必是严格凸的。

证明：若一致凸空间X不是严格凸的，则必存在X中两个非零元，使得

由此易知

因为X是一致凸的，故而

这样，

由条件即得

此为矛盾，证毕。1

应用赋范线性空间的严格凸性是一个重要的凸性概念，常用于讨论有界线性泛函保范延拓的唯一性问题。下面是一个重要定理。

定理3 设X为赋范线性空间，是X的一个线性子空间，是上的一个连续线性泛函，如果是严格凸空间，则在全空间X上的保范线性延拓是唯一的。反之，若X为自反空间，对任何和，在X上的保范线性延拓是唯一的，则必是严格凸的。1

定理3的证明参见参考文献[1] 的36-37页。

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学