[科普中国]-等价范数

预备知识线性空间

设 X 是一个非空集，K 是复（或实）数域，如果满足条件：

（1）X 是一加法交换群，即对 ，记作 称为 之和，适合

① ；

② ；

③ 存在唯一的 ，对 ；

④ 对任意的 ，存在唯一的 ，使得 ，记作 为 ；

（2）定义数域 K 中的数 与 的数乘运算，即 ，记作 称为 对 的数乘，适合

① ；

② ；

③ ；

④ ；

则称 X 为一复（或实）线性空间。1

线性空间上的范数若线性空间 X 上的一个非负值函数 满足：

（1）正定性： ；

（2）三角不等式： ；

（3）齐次性： ；

则称 为线性空间 X 上的一个范数。1

赋范线性空间当赋准范数的线性空间中的准范数是范数时，称该空间为赋范线性空间。1

一个范数比另一范数强设在线性空间 X 上给定了两个范数 和 ，若有 ，则称 比 强。1

为了 比 强，必须且只需存在常数 C>0 ，使得 。1

定义在许多分析问题中，引进范数或引进距离是为了研究一种收敛性。因此，如果我们关心的只是按照一定意义的收敛性而不是距离本身的大小，那么在空间上我们就可以认为决定同一收敛性的不同范数是等价的。等价范数是同一个线性空间上的两个范数之间的一种关系。

数学表示设在线性空间 X 上给定了两个范数 和 ，如果 比 强，并且 比 强，则称 和 等价。1

等价的意义Banach空间中的两范数等价，则说明这两个范数的Banach空间拓扑性质相同，特别是 B 空间中序列的收敛性、集合的有界性、线性算子的有界性、以及一族算子的一致有界，在从一个范数变化到另一个范数时，都是不变的。2

因此，与在同一个集合 X 上可以定义不同的距离使 X 成为不同的度量空间一样，在同一个线性空间 E 上，也可以定义不同的范数，使E构成不同的赋范线性空间。3

基本结论结论1（等价范数定理）设在线性空间 X 上给定了两个范数 和 ，若存在两个常数 ，使得

则有两范数 和 等价。1

结论2设 X 是一个有穷维线性空间，若 和 都是 X 上的范数，则必有常数 ，使得：

该结论表明：具有相同维数的两个有穷维线性赋范空间在代数上是同构的，在拓扑上是同胚的。1