[科普中国]-赋范线性空间

概念

赋范线性空间(normed linear space)是在线性空间中引进一种与代数运算相联系的度量，即由向量范数诱导出的度量。赋范线性空间称为Banach空间，是指由范数导出的度量是完备的。

定义：设是线性空间，函数称为上定义的一个范数，如果满足：

（1）当且仅当；

（2）对任何及，；

（3）对任意，。

称二元体为赋范线性空间。

在是赋范线性空间时，由范数导出的度量为

此时在此度量意义称为度量空间。所以，赋范线性空间是一种特殊的度量空间。点列收敛于，即，有时称这种收敛为依范数收敛。1

性质性质1：设是赋范线性空间，⊂，，若，则是有界点列。

证：，对，存在自然数，当时，。于是

令，那么对一切自然数，均有，即有界。证毕。

性质2：设中点列，及数域中数列满足，则

（1）加法连续：，即；

（2）数乘连续：，即。

证：（1）由，得。

（2）因，由性质1，有界，所以存在常数，满足。于是

故。证毕。1