[科普中国]-半素理想

半素理想(semiprime ideal)是与半素环密切相关的概念。环R的理想Q，若对R的任意理想A和某个自然数n，有An⊆Q，就恒有A⊆Q，则称Q为R的半素理想。它等价于，对R中任意元素x，若xRx⊆Q，则x∈Q1。

定义设是半环的理想，若对于的任意理想，由必推得，则称为的半素理想2。

相关概念及定理命题1设P是半环S的理想，则P是半素理想的充分必要条件是对任意理想A，由必推得，其中n为某个自然数2。

定义2设M是半环S的一个子集，若对任意，存在使得，称M为S的一个n-系统。

命题3设P是半环S的理想，则P是半素的当且仅当是S的一个n-系统。

定理4设P是半环S的理想，则下列等价：

1) P是半素理想；

2) 设，若，则；

3) 必推得，其中(a)为由a生成的主理想；

4) 必推得，其中R是S的右理想；

5) 必推得，其中L是S的左理想。

定义5设P是半环S的理想，若对任意，由必推得，称P为S的完全半素理想。

易知，若P是半环S的完全半素理想，则由必推得。

定理6设P是半环S的素理想，则P是完全素理想的充分必要条件是P是完全半素理想。

推论7设S是交换半环，则S的素理想、完全素理想与完全半素理想三个概念是一致的。

定理8设N是半环S的理想，则

1) 若P是S的素理想，则是N的素理想；

2) 若P是S的半素理想，则是N的半素理想。

**证明：**1) 记，则M是N的理想。设，若，则，于是，从而或，进而，或，得到或，推得或，这样或，即M是N 的素理想。

2) 记，设，若，则，于是，，得，进而，从而，所以，即，故M是N的半素理想。

定义9若{0}是半环S的素(半素)理想，则称S为素(半素)半环。

定理10设P是半环S的强理想，则下列等价：

1) P是素理想；

2) 是素半环；

3) 中任意两个非零理想之积非零。

定理11设P是半环S的强理想，则下列等价：

1) P是半素理想；

2) 是半素半环；

3) 若是的非零理想，则；

4) 不含非零幂零理想；

5) 不含非零幂零单侧理想，即是有效半环。

定理10、11中的都是指S关于同余的商半环，这两个定理的证明只要注意到的理想(单侧理想)的形式是且只是形如，其中，且，就不难了2。

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学