[科普中国]-弱序列完备

弱序列完备(weak sequential completeness )是关于弱拓扑的序列完备性。设X是赋范线性空间，X*是X的共轭空间，称X(X*)是弱(弱*)序列完备，是指X(X*)中的任何弱(弱*)基本序列都在X(X*)中弱(弱*)收敛。

弱拓扑弱拓扑是一种局部凸拓扑。设线性空间对(X，Y)关于双线性泛函〈·，·〉成为对偶，称X上由半范数族{|〈·，y〉||y∈Y}确定的局部凸拓扑为X的关于对偶Y的弱拓扑，记为σ(X，Y)。对称地，Y上由半范数族{|〈x，·〉||x∈X}确定的局部凸拓扑称为Y的关于对偶X的弱拓扑，记为σ(Y，X).当X为局部凸空间时，(X，X)为自然对偶，σ(X，X)称为X的弱拓扑，而σ(X，X)称为X的弱*拓扑。相应地，X中原有的拓扑称为强拓扑。一般地，X的弱拓扑比强拓扑弱，从而弱闭集必是强闭集；对于凸集，其逆也成立，即强闭凸集也是弱闭的。集合的弱有界性与强有界性是等价的。

赋范线性空间的深入研究必然遇到弱拓扑问题。事实上，1930年，冯·诺伊曼(von Neumann，J.)就注意到了这一点.这也是需要引入拓扑线性空间的一个原因。1

完备的拓扑线性空间赋范线性空间完备性的推广。设E是拓扑线性空间，{xα|α∈Λ}(Λ为有序集)是E中的定向列(网)，如果对零元的任一邻域V，有αV∈Λ，使当ααV，α′αV时有xα-xα′∈V，则称{xα|α∈V}为基本定向列(或柯西网)。如果E中每个基本定向列必在E中收敛，则称E是完备的。如果E中每个基本点列必在E中收敛，则称E是序列完备的。如果E中每个有界基本定向列必在E中收敛，则称E是有界完备的或拟完备的。一般地，完备⇒有界完备⇒序列完备。对于赋范线性空间，这三者等价。

拓扑线性空间必可完备化，即可拓扑线性同构于一个完备拓扑线性空间的稠密子空间。普塔克(Ptak，V.)关于拓扑线性空间的完备性的进一步讨论，使得在一类很广的完备拓扑线性空间中开映射定理得到相应的推广。建立开映射定理和闭图象定理是拓扑线性空间理论中的重要课题之一。

拓扑线性空间泛函分析的重要分支，又称之为拓扑向量空间，它是具有拓扑结构的线性空间，是赋范线性空间概念的推广。

20世纪初，法国数学家弗雷歇在引入距离空间，并用距离概念来统一过去分析学中的许多重要收敛时，就知道[a，b]上一列函数的“点点收敛”概念是不能用距离收敛来描述的。20世纪30年代以来，泛函分析中大量应用弱收敛、弱拓扑，它们都不能用距离来描述。这就很自然地把赋范线性空间理论发展成更一般的拓扑线性空间理论，其中最主要的成就是局部凸拓扑线性空间理论。这一分支的发展是与一般拓扑学的发展紧密联系在一起的。拓扑学方法在这里发挥了极其重要的作用，法国数学家勒雷和波兰数学家绍德尔所推广的不动点定理就是有力的例证之一。1935年以后，经过十多年的努力，这一分支终于形成，它的许多结果不仅在泛函分析中有着广泛的应用，而且为其他分析学科的深入研究提供了基本框架和有力的工具。

赋范线性空间一类可以引进“长度”概念的线性空间。设X是线性空间，X上满足下列条件的实值函数p(·)称为X上的范数：1

1.p(x)≥0(x∈X)；p(x)=0⇔x=0。

2.p(αx)=|α|p(x)(α为数，x∈X)。

3.p(x+y)≤p(x)+p(y)(x，y∈X)。

对x∈X，p(x)称为x的范数，通常记为‖x‖。赋有范数的线性空间(X，‖·‖)称为赋范线性空间，简称赋范空间。

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学