[科普中国]-闭球套定理

闭球套定理(closed ball nest theorem)对度量空间的完备性的一种刻画。 欧氏空间中许多结论均依赖于空间的完备性，如直线上的闭区间套定理，平面内的闭矩形套定理等，在完备的距离空间中，许多与欧氏空间情形类似的结论仍然成立1。

基本介绍定义1 设是距离空间，，

称为以为中心，为半径的开球。

称为以为中心，为半径的闭球。

闭球套定理 设是完备的距离空间，是一列闭球

如果球的半径，则存在唯一的点。

定理的证明证明： 由命题的条件，不难看到球心组成的序列是一个Cauchy列。事实上，对任意n，m，若n≥m，则由得

由此立得是一个Cauchy列，由X是完备的知存在，使得，在不等式

中，固定m并令得，这说明，故。

若另有，且，则对任意n，有

由不等式

及立得，从而，这就得到矛盾，所以必是单点集。证毕。

相关结论在直线上的闭区间套定理中，即使区间的长度不趋于0，所有区间的交仍然是非空的。然而，在一般距离空间中，即使空间是完备的，假如闭球套的半径不趋于0，则其交可能是空集。

从直线上Cauchy准则与闭区间套定理的等价性，人们自然会提出这样的问题：

在距离空间中，闭球套定理与空间的完备性是否等价?

答案是肯定的。事实上，假设在距离空间中闭球套定理成立，为证空间的完备性，假设是X中的Cauchy列，于是存在正整数列，使得当时，

作闭球，则对任意，由

知，故是一个闭球套，于是存在唯一的。由知，又由

立得，即在X中收敛，从而完备1。

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学