[科普中国]-诱导丛

概念

从一个纤维丛经一个连续映射诱导出的一个新的纤维丛。设：

为纤维丛，ψ：B′→B为连续映射，考虑E×B′的子空间：

若p′：E′→B′，Ψ：E′→E分别为乘积空间的投射：

在E′上的限制，则ψ#ξ=(E′，p′，B′，F，G)是纤维丛，并且Ψ是由ψ#ξ到ξ的丛映射，ψ#ξ称为由ψ得到的ξ的诱导丛，也称为丛ξ由映射ψ而得到的回退。此时，若ξ的坐标邻域族及坐标变换族为{Uα}，{gβα}，则ψ#ξ的相应族为{ψ(Uα)}与{gβα°ψ}；设已给纤维丛ξ′，ξ之间的丛映射Ψ：E′→E，若ψ：B′→B为底空间之间的映射，则ξ′≡ψ#ξ。若ξ1=ξ2，则ψ#ξ1=ψ#ξ2。当ψ′：B″→B′为连续映射时，

若η是主丛，则ψ#η也是主丛。若ξi=(Ei，pi，Bi，Fi，Gi}，i=1，2为纤维丛，则ξ1×ξ2=(E1×E2，p1×p2，B1×B2，F1×F2，G1×G2)在自然意义下也成为纤维丛，称为ξ1与ξ2的乘积丛。特别地，若ξi=(Ei，pi，B，k，GL(ni，R))为向量丛，Δ：B→B×B，Δ(b)=(b，b)为对角映射，则诱导向量丛Δ(ξ1×ξ2)称为向量丛ξ1，ξ2的惠特尼和，记为ξ1⊕ξ2，而ξ1⊕ξ2为B上的n1+n2维向量丛。诱导丛在代数拓扑中的一个重要性质是：若B′为仿紧空间，ψ1，ψ2：B′→B同伦，则ψ1ξ=ψ2ξ。1

纤维丛坐标丛的一个等价类。设给了下列事物：空间E称为全空间，空间B称为底空间，连续映射π：E→B称为投影，空间F称为典型纤维，G为作用在F上的有效拓扑变换群，称为结构群，{Vj}j∈J为B的开覆盖，且对每个Vj有同胚φj：Vj×F→π(Vj)，(Vj，φj)称为局部平凡化区图，而{(Vj，φj)}称为图册.若满足下列条件，它就是一个坐标丛：

1.πφj(x，y)=x，对任意x∈Vj和任意y∈F；

2.令φj，x：F→π-1(x)为φj，x(y)=φj(x，y)，则对任意x∈Vi∩Vj，同胚φ-1i，x°φj，x：F→F属于G；

3.对任意i，j∈J，由gij(x)=φ-1i，x°φj，x定义的映射gij：Vi∩Vj→G连续，{gij}称为转移函数族。

坐标丛记为：(E，B，π，F，G，{(Vj，φj)}，{gij})。

对任意x∈B，记Fx=π-1(x)，称为点x上的纤维，它同胚于典型纤维F。

若两个具有相同的全空间、底空间、投影、典型纤维和结构群的坐标丛的两个转移函数族合并起来仍满足条件1，2和3，即仍成为一个转移函数族，则称这两个坐标丛严格等价。

坐标丛在严格等价之下的一个等价类称为一个纤维丛。

由于每一个坐标丛都惟一地决定了一个纤维丛，故通常当得到一个坐标丛时，就认为得到了一个纤维丛，且简记为(E，B，π，F，G)，当G无需指明时也简记为(E，B，π，F)。当F，G和π无需指明时也说E是B上的一个纤维丛。例如，若M是n维微分流形，其切丛T(M)在自然投影π之下是M上的一个纤维丛，实际上是以T(M)为全空间，M为底空间，π为投影，R为典型纤维，一般线性群GL(n，R)为结构群的纤维丛。

连续映射设f为从拓扑空间E到拓扑空间F中的映射。称f在E的点x0是连续的，如果对f(x0)在F中的任一邻域W，在E中存在x0的邻域V，使在f下V的象包含在W中；换言之，如果在f下f(x0)的任一邻域的逆象是x0的邻域。

称f在E上是连续的(或简称f是连续的)，如果它在E的每一点都连续。

为使f是连续的，必须且只须F的任一闭集经由f的逆象是E的闭集，或F的任一开集经由f的逆象是E的开集。但是E的开集(闭集)经由连续映射的正象不一定是F的开集(闭集)。

从E到F中的常映射是连续的.E的恒等映射是连续的。

任一从离散空间到拓扑空间的映射是连续的。

设E，F及G为拓扑空间，f为从E到F中的连续映射，而g为从F到G中的连续映射，则复合映射g°f是连续的。

当E与F为分别赋以距离d及e的度量空间时，为使f在x0点连续，其充分必要条件是：对任一严格正的实数ε，存在严格正的实数η，使得由关系d(x，x0)≤η可推出e(f(x)，f(x0))≤ε.若f为定义在R的子集P上的有限数值函数，则使f在x0点连续的充分必要条件是：对任一严格正的实数ε，存在严格正的实数η，使得对P的任一元素x，关系|x-x0| ≤η蕴涵|f(x)-f(x0)|≤ε。2

向量丛向量丛是流形切丛概念的抽象和推广，它是微分拓扑学和代数拓扑学的重要研究对象。设E，B是拓扑空间(B为T2空间)，π：E→B为连续满映射.ξ=(E，π，B)称为n维(实、拓扑)向量丛，若适合：

1.对于b∈B，Eb=π(b)是n维(实)向量空间；

2.(局部平凡性)对于b∈B，存在b的邻域U及同胚映射φ：π(U)→U×R，使得对于x∈U，φx=φ|Ex：Ex→{x}×R是向量空间的同构。

此时，B称为向量丛ξ的底空间，记为B(ξ)，E称为向量丛ξ的全空间，记为E(ξ)，Eb称为b∈B处的纤维，π称为丛射影。上述适合条件2的(U，φ)称为ξ的丛卡。

若∪α∈ΛUα=B，则称为图册。进而，设B是微分流形，对于ξ的图册Φ，若α，β∈Λ，Uα∩Uβ≠Φ，图册的转换函数gαβ：Uα∩Uβ→GL(n，R)是可微的，其中gαβ(x)=φβx°φ-1αx：Rn→Rn，x∈Uα∩Uβ，GL(n，R)为可逆n阶方阵组成的(实)线性群，则称为可微的。若图册Φ是ξ的极大的可微图册，则ξ=(E，π，B，Φ)称为可微向量丛。此时，若B是m维微分流形，则ξ的全空间E是(n+m)维微分流形。流形的切丛、法丛、万有丛等都是可微向量丛的常见例子。向量丛ξ=(E，π，B)也称为B上的向量丛。3