[科普中国]-自然边界条件

边界条件

边界条件指在运动边界上方程组的解应该满足的条件。有限元计算，无论是ansys，abaqus，msc还是comsol等，归结为一句话就是解微分方程。而解微分方程要有定解，就一定要引入条件， 这些附加条件称为定解条件。定解条件的形式很多，最常见的有两种——初始条件和边界条件。

一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(狄里克雷边界条件)、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。对于自然边界条件，一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法则对总体有限元方程进行修正满足。

自然边界条件在数学中，纽曼边界条件也被称为常微分方程或偏微分方程的“第三类边界条件”。纽曼边界条件指定了微分方程的解在边界处的微分。

在常微分方程情况下，如在区间[0,1]， 纽曼边界条件有如下形式：

自然边界元自然边界元法是从Green函数和Green公式出发，通过自然边界归化把区域中偏微分方程的边值问题化为边界上的自然积分方程，然后通过化成等价的变分形式，从而在边界上离散化求解。自然边界元法不但具有一般边界元方法的优点，且刚度矩阵保持了对称正定性，并有循环性或分块循环性，大大减少了计算量。然而自然边界元方法也有其局限性:对于不规则区域上的边值问题，往往难以得到相应的Green函数，从而无法求得自然积分方程和Poisson积分公式，也就不能直接被应用。

椭圆自然边界归化我们己经知道自然边界元法不但具有一般边界元方法的优点，且由于刚度矩阵的对称正定性，并有循环性或分块循环性，从而具有更多的数值计算上的优点。但对于不规则区域上的边值问题往往难以得到相应的Green函数，从而无法求得自然积分方程和Poisson积分公式，也就不能直接应用自然边界元法。通过自然边界元和有限元的耦合法，使之继承了有限元能适应较任意区域的优点，也克服了自然边界归化对区域的限制，大大拓展了处理问题的范围。又由于二者基于同样的变分原理，故它们的耦合非常自然而直接，且祸合法的总刚度矩阵恰为分别由自然边界元法及有限元法得到的刚度矩阵之和，这与其它边界元与有限元的耦合相比要简单得多。1

带自然边界条件微分方程数值解一般情况下，大多的偏微分方程很难求得其精确的解析解，因此，如何求其满足要求的近似解，也即数值解，成为科学和工程计算中的最重要内容。求解微分方程的数值方法有很多种，如较流行的差分法、有限元法、边界元法、谱方法与拟谱方法、辛方法等。近年来，逐渐兴起另一种求偏微分方程数值解的方法：无网格方法.门。这种数值方法不需要像有限元法一样需要对微分方程的求解区域进行剖分，只是基于在求解区域中选定的某一组散乱分布的点处的信息来确定真解的一种近似，因此其在许多条件下，特别是在高维情形的实现有时要比有限元方法方便。

本文从任意d元散乱数据出发，给出一种目标泛函较为简单、更符合实际的散乱数据点的多元多项式自然样条。用这种自然样条考虑任意d元散乱数据的插值问题，则该问题的自然样条解与以往不同，其基函数有良好的边界条件与简单的表达式。此外，以这种自然样条为基础，可以构造出一种新的偏微分方程数值方法，数值算例表明这种方法是有效的。

用这样的基于散乱数据的多元样条自然样条函数构造的Ualerkin方法是有效的，但针对不同的问题还要注意如下的问题:

（1）在边值问题中的强加边界条件是齐次边界条件，而基函数恰好可能选择使其满足相应的齐次边界条件，因此可以直接进行Ualerkin近似。如果边值问题中的边界条件是非齐次的，那么基函数不能直接满足这样的边界条件，从而要使近似解也能满足或近似地满足给定的边界条件就需要对边界条件进行如何处理加以考虑。对于自然边界条件，则根据多元函数的Ureen公式等适当构造泛函，使其在变分过程能自动满足。而强加的非齐次边界条件可以用补偿法将其改造成一个近似的自然边界条件，或用Lagrange乘子法将其吸收进变分过程，从而达到去掉强加边界的目的。

（2）对于基函数，由其构造可知，其在方型区域某些边界上能够自动满足一些齐次边界条件。因此，在具体问题中，对于相应的方型区域上的齐次边界条件可以选择或重新构造基函数使其能满足齐次边界条件，从而尽可能减少因要对边界的处理而要在变分方程中增加一些项。

（3）散乱点的选取可以在区域内部，也可在边界上，但要尽可能使散乱点均匀分布，从而使近似解更能反应方程所反映问题的信息和特征。2