[科普中国]-子域上阿基米德序域

子域上阿基米德序域1(Archimedean orderedfield over a subfield)是一类相对于子域具有特殊性质的序域。

概念子域上阿基米德序域(Archimedean orderedfield over a subfield)是一类相对于子域具有特殊性质的序域。设(F',>)是一个序域，E是F的一个子域。对于元素a∈F，若对于E中每个正元素b，恒有士a>b，则称a在E上是无限小的。F中零元素在任一子域上都是无限小的。这个概念的重要性在于：序域上任何一个与序相容的赋值理想恰好由在某个子域上是无限小的全部元素组成。序域(F,>)，若F没有在E上是无限小的非零元素，则称F为在子域E上是阿基米德的。这一称谓可看做阿基米德序域在概念上的一个推广。事实上，序域(F,>)是阿基米德序域，当且仅当(F,>)在素子域Q上是阿基米德的。1

阿基米德序阿基米德序是一种重要的序。设>是域F的一个序，a>0是F中任一元。若对于F中每个b>0，总有某自然数n(与a，b有关)，使得有na>b成立，则称>是F的一个阿基米德序；同时又称(F，>)为阿基米德序域。若不能使上述条件满足，则称>是非阿基米德序；(F，>)为非阿基米德序域。R和Q关于它们惟一的序都是阿基米德序域；反之，任何一个阿基米德序域都序同构于R的某一子域。

序域序域是一种特殊的域。它是有序结构的域。一个域F，若在它的元素之间存在一个二元关系>，满足下述条件：

1.对于任意a∈F，必有a=0或a>0或-a>0三者之一成立(0指F的零元)；

2.从a>0，b>0可导出a+b>0及ab>0；

则称>是F的一个序，带有序>的域F称为序域，记以(F，>)。凡是能在其中规定序的域，就称为可序的，或称可序域。在实数域R和有理数域Q中，通常的大小关系就给出它们的一个序。因此R和Q都是可序域，而且，它们只能有这样给出的序。不过，并非所有的可序域都只有惟一的序。

域设P是一至少含有两个元素的环，如果在P中乘法还具有下列性质：

(1)有单位元素，即在P中有一元素e，使ea=ae=a，对所有的a∈P；

(2)有逆元素，即对p中每个非零元素a都有一元素a，使a-1a=aa-1=e；

(3)交换律成立，即ab=ba，a，b∈P，那么P就叫做一个域。域有下列的基本性质：

(1)域没有零因子；

(2)若集F在两个 二元运算(加法和乘法)下满足下列条件，则F为一个域：

①F是以零为单位元的加法群；

②由除零外的F的一切元组成的集在乘法下是一个交换群；

③乘法对加法是可分配的；

(3)在域F中，方程ax=b(a，b∈F，a≠0)有唯一的解，并记作x=a/b；

(4)在F中，指数律成立；

(5)若把域F的单位元e的n倍ne记作n，则F中任一元a的n倍na就是n与a的积na。1

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学