[科普中国]-覆叠空间

同伦论

同伦论是拓扑学的重要概念。1

直观地说，从拓扑空间X到拓扑空间y的连续映射f，g是同伦的，是指在y中可将f 连续形变成 g，设都是连续映射，若存在连续映射，使得对所有，则称f和g是同伦的映射，记为称H 为从f到g的一个同伦或伦移，这时的，若对所有t，同伦都是X到Y的同胚，则称f合痕于g。应该指出，映射的同伦关系是从拓扑空间X到Y的所有连续映射所成集合c(x，y)上的一个 等价关系，它将这些映射分成一些等价类，称每个等价类为一个同伦类。研究映射的同伦分类问题是同伦论的基本内容之一。

直观地说，从拓扑空间X到拓扑空间y的连续映射f，g是同伦的，是指在y中可将f 连续形变成 g，设都是连续映射，，若存在连续映射：，使得对所有，

则称f和g是同伦的映射，记为：，称H 为从f到g的一个同伦或伦移，这时的，若对所有t，同伦f1都是X到Y的同胚，则称f合痕于g。应该指出，映射的同伦关系是从拓扑空间X到Y的所有连续映射所成集合c(x，y)上的一个 等价关系，它将这些映射分成一些等价类，称每个等价类为一个同伦类。研究映射的同伦分类问题是同伦论的基本内容之一。2

详细概念覆叠空间亦称覆盖空间。同伦论中一个重要概念。设是道路连通空间，X是连通且局部道路连通空间，p：→X是连续满映射，若对于X中每一点x都有一个道路连通开邻域U，使得对于的每个连通分支V，p在V上的限制p|V：V→U是同胚，则称(，p)为X的覆叠空间，称p为覆叠映射，称X为底空间，这样的邻域U称为x的可允许的邻域。例如，指数映射π：R^1→S^1，把t∈R^1映为e∈S^1，则(R^1，π)是S^1的覆叠空间。若对于1∈S，取：

则：

为同胚。

覆叠空间理论包括映射提升定理，覆叠空间的分类定理，以及万有覆叠空间的存在性等内容。例如道路提升定理：设(，p)是X的覆叠空间，p：→X为覆叠映射，若a∈X，b∈p(a)，v为X的以a为起点的道路，则内有惟一的以b点为起点的道路，满足p°=v，称为道路v的提升。类似地，有闭路同伦提升定理：设(，p)是X的覆叠空间，若F：I×I→X为连续映射，满足条件：

F(0，t)=F(1，t)=a， 0≤t≤1，b∈p(a)，

则存在惟一的连续映射：I×I→满足条件：

p°=F， (0，t)=(1，t)=b， 0≤t≤1，

称为F的提升。根据上述提升定理可知：覆叠映射p的诱导同态p*： π1(，b)→π1(X，a)是单同态。

道路连通空间道路连通空间一类拓扑空间。若对于拓扑空间X中的任意两点都存在以这两点分别为始点与终点的道路，则称X为道路连通空间。若拓扑空间的子集作为子空间是道路连通的，则称它为道路连通子集。道路连通空间一定是连通空间，但是，其逆不成立。例如，X为{(x，y)|y=sin(1/x)，x≠0}与{(0，y)|y∈[-1，1]}的并集且赋予通常拓扑，则X是连通空间但不是道路连通空间。3

映射提升定理关于覆叠空间的一条定理。设(X~，p)是X的覆叠空间，对于连续映射f：Y→X，若存在连续映射f~：Y→X~，满足条件p°f~=f，则称f~为f的提升。映射提升定理：若Y是连通且局部道路连通空间，r∈Y，(X~，p)是X的覆叠空间，a∈X，b∈p(a)，则连续映射f：(Y，r)→(X，a)存在提升f~：(Y，r)→(X~，b)的充分必要条件为f*(π1(Y，r))p*(π1(X~，b))，并且当提升f~存在时它是惟一的。这里f*和p*分别为连续映射f和覆叠映射p对应的基本群之间的诱导同态。4