[科普中国]-集值映射

定义

对于两个集合 ，如果按照一个对应关系(规则)，使得对于 中的每一元素 ，都有 中的一个(几个)确定的元素 与之对应，那么我们把这个对应关系叫做集合 到集合 的单值(多值)映射，多值映射也称“集值映射”。通常用 …等符号来代表映射，当 表示一个由集合 到集合 的映射，那么记 ，或 ，对任意 ，对于任意集合 ，我们把集合 叫做 的象，而对任何集合 ，我们把集合 叫做 的原象(逆象)。2

相关概念凹函数定义1 对凸集 上的函数 ，如果不等式

对任意的 和任意 成立，那么我们称函数 为 上的凹函数。当不等式是严格不等式时，我们叫 为严格凹函数。2

类似可定义凸函数。凹函数图像如图1。

下面的定义都将限制集合 是 中的有界闭、凸集。

上半连续定义2 对多值映射 序列 ，如果当 且 时有 ，那么，我们说映射 是上半连续的。

当 为单值映射时，以上就是它的连续性定义。

下半连续定义3 若从 能够推出存在 使得 则称映射 为下半连****续。

由定义得知，要证明映射的下半连续性，就要找出满足定义条件的序列 来。

线性组合关于多值映射的线性组合，我们有如下定义。

定义4 假定有几个映射 是上半连续的， 是凸且有界闭的集合，那么映射

叫做映射 的线性组合，并用记号 。2

相关定理定理1假定集合 是凸，有界闭集，定必在 上的连续函数 关于 是凹的，那么映射

是上半连续的，且集合是非空凸、闭集。2

定理2假定集合X与Y是凸、有界闭集，函数定义在 上，且对x与y分别是连续的，对y是凸的，如果存在 ，使得对所有 满足 。那么映射 既是上半连续又是下半连续，并且集合是非空，凸且闭的。

定理3假定连续函数定义在上，其中是凸，有界闭集，对y是凹的，并且多值映射是上半且下半连续的，集非空，对任意是凸的。那么映射

是上半连续的，集合是非空，凸且有界闭的集合。2

定理4关于多值映射的线性组合，有如下结论。

上半连续映射的线性组合也是上半连续的。

定理5下述的日本学者卡库坦的多值映射不动点定理，在经济数学中占有重要地位。

假定是凸且有界闭的中的子集，映射是上半连续的，集合是非空凸集，那么存在，使。2