[科普中国]-离散赋值

简介

当一阶赋值φ的值群为无限循环群时,则φ称为离散赋值。

例如，关于有理数域Q。设p是一个素数，那么每个有理数α≠0都可惟一地写成的形式，其中b、с是与p互素的整数，v(α)∈Z。规定，以及φ(0)=0。不难验知，φ满足赋值的条件，而且是一个离散赋值，称之为Q的p进赋值。

离散赋值环【discrete valuation ring】

设(R，m)是一个维数为1的诺特局部环，如果m可以由一个元素生成，则称R是离散赋值环。

离散赋值环一定是整环。

设(R，m)是一个维数为1的诺特局部整环，则下列条件等价：

（1）R是离散赋值环；

（2）R的每个非零理想都是m的一个方幂；

（3）存在a∈R使得R的每个非零理想都具有形式(aᵏ)，k≥0。

离散赋值环对应于离散赋值。假设R是离散赋值环，F是R的商域。令

这里，。则𝓋是F的一个离散赋值。

例如，设p是素数，则是离散赋值环。1