[科普中国]-局部连通空间

定义连通空间

定义1：设X是一个拓扑空间。如果X中有两个非空的隔离子集A和B，使得X= A∪ B，则称X是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间。

局部连通空间定义2：设X是一个拓扑空间。如果x∈ X的每一个邻域中都包含着x的某一个连通的邻域V，则称拓扑空间在点x处是局部连通的。如果拓扑空间X在它的每一个点处都是局部连通的，则称是一个局部连通空间1。

局部连通的拓扑空间也不必是连通的。例如，每一个离散空间都是局部连通空间，但包含着多于一个点的离散空间却不是连通空间。又例如，n维欧氏空间的任何一个开子空间都是局部连通的(这是因为每一个球形邻域都同胚于整个欧氏空间，因而是连通的)，特别地，欧氏空间本身是局部连通的。另一方面，欧氏空间中由两个无交的非空开集的并作为子空间就一定不是连通的。

此外根据定义立即可见：拓扑空间X在点xX处是局部连通的当且仅当x的所有连通邻域构成点二处的一个邻域基。

道路连通空间定义3：设X是一个拓扑空间，如果对于任何x, y，存在着X中的一条从x到y的道路(或曲线)，我们则称X是一个道路连通空间。X中的一个子集Y称为X中的一个道路连通子集，如果它作为X的子空间是一个道路连通空间。

实数空间R是道路连通的，这是因为如果x, yR，则连续映射f： [0,1]R定义为对于任何t[0,1]有f(t)=x+t(y-x)，便是R中的一条以x为起点以y为终点的道路。也容易验证任何一个区间都是道路连通的2。

局部连通空间与连通空间（1）定理1：拓扑空间的两个不同的连通分支是不相交的。

证明：设A和B是两个连通分支，且A∩ B≠，则由熊金诚的结果3可知，A∪ B是连通的，于是，A= A∪ B=B。

（2）定理2：任何拓扑空间都等于它的连通分支的并集。

证明：在拓扑空间X中，对于任意x∈ X，包含x的连通分支Cx是存在的，所以：

（3）定理3：拓扑空间为局部连通的充分必要条件是每一开集的每一连通分支是开集。

证明：设X是局部连通空间，U是X的一个开集，而C是U的一个连通分支。如果x∈ C，由于U是x的一个邻域，所以x有一个连通邻域V包含于U。又由于V∩ C包含着点x，所以不是空集。根据熊金程的《点集拓扑讲义》3中的定理4.31，可见：

因此C是点x的一个邻域。这证明C是属于它的任何一个点x的邻域，因此C是开集。反过来，如果每一个开集的连通分支都是开集，则每一点的每一开邻域都包含连通的开邻域，这就是此开邻域的连通区。因此空间是局部连通的连通空间不一定是局部连通的空间1。

局部连通空间与道路连通空间局部连通空间不一定是道路连通的。

反例：实直线R上的点集E=(- 1,0)∪(0,1)，并把E看成是R上的子空间，则E是局部连通的，但不是连通的。因为0点不属于E。1