[科普中国]-交换环类群

概念介绍

交换环类群(class group of a commutativering)亦称理想类群。刻画环性质的一种阿贝尔群。在代数K理论与代数数论中有重要应用。是衡量戴德金环与主理想整环相距程度的群。设G(R)是戴德金环R的全部分式理想所构成的群，P(R)是主分式理想群。它们都是交换群且P(R)是G(R)的子群，其商群G(R)/P(R)=I(R)称为R的理想类群。R的每个分式理想a在I(R)中的像称为a所在的理想类。于是，两个分式理想a，b同属于一个理想类当且仅当在R的商域K中存在非零元素d使a=(d)b。所以，I(R)是一阶群，当且仅当P(R)=G(R)；又当且仅当R的每个整理想均为主理想；又当且仅当R为主理想整环。1

交换环类群是数域的分式理想群按主理想子群分类所形成的群。数域K的两个分式理想A和B称为等价的，指存在α∈K使A=αB.K的分式理想等价类全体构成的乘法群H(K)即称为K的理想类群。换句话说，H(K)=I/I*，式中I为K的分式理想群，I*为主理想子群。H(K)的阶h(K)是有限数，称为K的理想类数或类数。K为主理想域(即K的整数环为主理想环)当且仅当h(K)=1。类群和类数是数域的重要数论特征和研究对象。

群群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：2

(1)封闭性，a·b∈G;

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

阿贝尔群阿贝尔群亦称交换群。是一种重要的群类。对于群G中任意二元a，b，一般地，ab≠ba。若群G的运算满足交换律，即对任意的a，b∈G都有ab=ba，则称G为阿贝尔群。由于阿贝尔(Abel，N.H.)首先研究了交换群，所以通常称这类群为阿贝尔群。交换群的运算常用加法来表示，此时群的单位元用0(零元)表示，a的逆元记为-a(称为a的负元)。用加法表示的交换群称为加法群或加群。3

理想理想是集合论中的基本概念之一。设S为任意集合，若I⊆P(S)且满足：

1.∅∈I;

2.若X，Y∈I，则X∪Y∈I;

3.若X，Y⊆S，X∈I，Y⊆X，则Y∈I;

则称I为集合S上的理想。理想的概念在现代数学的几乎每个分支中均有应用，且有许多变体或引申。例如，布尔代数上的理想即为集合上的理想的一种变体。设B为任意布尔代数，若B的一个子集I满足：

1.0∈I，1∉I(其中0，1分别为布尔代数B中的零元与么元);

2.对任何u∈I，v∈I，有u+v∈I;

3.对任何u，v∈B，若u∈I且v≤u，又v∈I;

则称I为B上的理想。

环一个环是一个集合R，其中有两个合成运算，叫作加法和乘法，对有序对a，b，a，b∈R，其结果分别用a+b和ab表示，这两个合成法则满足：(1)a+b及ab属于R(闭合);(2)a + b=b + a(交换律);(3) (a+b) + c=a+ (b + c)(结合律);(4)在R中有一个元0叫零元，对R中任意a，适合a + 0 = 0 +a;(5)对R中任意元a，在R中有一个a的负元—a，适合a+ (—a)=0;(6)(ab)c= a(bc);(7)a(b + c)=ab+ac，(b+c)a=ba+ca(分配律)，满足以上条件的代数系即叫环，环论研究的就是具有这些性质的代数系。环论概括了数学各分支中很多基本的特例，如它包括整数环、有理数环、实数环、复数环和各种不同的函数和矩阵环等。环是现代代数中重要概念，其理论和方法在数学许多分支中都有应用。4

戴德金环戴德金环是理想可以惟一素分解的环。最重要的例子是：数域的整数环、光滑曲线的坐标环。按定义，满足下述三条件的整环R称为戴德金环：

1.R是诺特环.

2.R的真素理想均为极大理想.

3.R在其商域F(≠R)中是整闭的.

事实上，对每个戴德金环R及其商域F，总存在F的离散素除子集S使{F，S}为普通算术域而R为S整数环。整环R(≠其商域F)为戴德金环当且仅当其每个真理想均为极大理想的积；也等价于其每个分式理想均可逆，即分式理想全体构成群。戴德金环R在其商域F的有限可分扩张E中的整闭包RE也为戴德金环，且E是RE的商域。5