[科普中国]-提升幂等元

提升幂等元是环论的基本概念之一，指剩余类环 R/𝔞 的幂等元转化为 R 的幂等元。

简介提升幂等元是环论的基本概念之一，指剩余类环 R/𝔞 的幂等元转化为 R 的幂等元。

性质设 𝔞 是 R 的理想， 是 R/𝔞 的幂等元，若存在 R 的幂等元 e ，在自然同态 v 下有 v(e)=ε ，则称 ε 提升到 e，若对 R/𝔞 到正交幂等元集 ，存在 R 的正交幂等元集 ，使得 ，则称 R/𝔞 的正交幂等元集 可提升为 R 的正交幂等元集。

若 𝔞 是 R 的诣零理想，则 R/𝔞 的任意有限或可数正交幂等元集均可提升为 R 的正交幂等元集。若对 R 的每个理想 𝔞 而言， R/𝔞 的幂等元皆可提升为 R 的幂等元，则称 R 为提升环，若 N 为 R 的一个根， R/N 的幂等元可提升为 R 的幂等元，则称 R 对根 N 是提升的。

剩余类环(residue class ring)

剩余类环是有理整数环的剩余类环Z/mZ的推广。设{F，S}为普通算术域，且F对S中每一赋值的剩余类域均为有限域，设O为F的S整数环，A，B为O的理想，记N(A)=#(O/A)，称为A的范数，它是积性的，O/A有许多类似于Z/mZ的性质：

1.bx≡c(mod A)有解当且仅当(b，A)除尽c，且模A/(b，A)解惟一(式中b，c，x∈O)；

2.以Φ(A)记环O/A中单位元个数，若(A，B)=1，则Φ(AB)=Φ(A)Φ(B)，且Φ(A)=N(A)∏(1-1/N(p))，式中p|A过素理想∑Φ(B)=N(A)，式中B|A过理想；

3.若b∈O，(b，A)=1，则bΦ(A)≡1(mod A)。1

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学