[科普中国]-完全环

完全环(perfect ring)是一类具有同调性质的环，概念是巴斯(Bass , H.)于1960年研究模范畴的同调性质时引进的。

环是对并与差运算封闭的集类，测度论中重要概念之一。设F是Ω上的一个非空集类。如果它对集的并及差运算封闭，即对任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，则称F为Ω上的环。

概念完全环(perfect ring)是一类具有同调性质的环。设R是环，若任意左R模有投射包，则称R为左完全的.以下性质是等价的：1

1.R是左完全环.

2.R/J(R)是半单的且J(R)是T幂零的.

3.任意平坦左R模是投射的.

4.R的任意右主理想链满足极小条件.

完全环的概念是巴斯(Bass，H.)于1960年研究模范畴的同调性质时引进的。上面的结果也就是著名的巴斯定理。

环对并与差运算封闭的集类，测度论中重要概念之一。设F是Ω上的一个非空集类。如果它对集的并及差运算封闭，即对任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，则称F为Ω上的环。例如，若F是由实直线R上任意有限个左开右闭的有限区间的并集：

的全体构成的集类，则F是R上的一个环。环也是对于交与对称差运算封闭的集类，并按这两种运算成为布尔环。要把R上的勒贝格测度和勒贝格-斯蒂尔杰斯测度以及相应的积分理论推广到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集类并研究其性质。环以及半环、σ环、代数、σ代数等重要集类正是为了这一目的而引入的。

模一个重要的代数系统。它是一个带算子区A的交换(加)群M。给定集合A与交换群M，若定义了a∈A与x∈M的乘积ax∈M，并且这个积满足条件：2

1.a(x+y)=ax+ay (a∈A，x，y∈M)，

则称A为M的算子区，称M为带算子区A的模，又称为A上的模或A模。这时，由对应(a，x)→ax确定的映射A×M→M，称为A作用到M上的运算。任意a∈A可诱导出M的自同态aM：x→ax，而考虑交换群M能否成为A模就是看能否给出映射μ： A→End(M)， a→aM.

特别地，考虑A是结合环，若满足上述条件1的A模还满足：

2.(a+b)x=ax+bx;

3.(ab)x=a(bx);

即映射μ：A→End(M)为环同态，则称M为左A模或左环模。由于A到M上的运算是写在左侧，所以M就称为左A模，记为AM。类似地，有右A模M，记为MA。若A有单位元1，且又满足条件

4.1x=x (x∈M);

则称M为酉模或幺模，以下设A模都是酉模。

范畴设C是一个类，对C的任意两个成员A，B，有一个集合HomC(A，B)，其中的元素称为从A到B的态射，对于f∈HomC(A，B)，g∈HomC(B，C)，定义它们的乘积gf∈HomC(A，C)，如果A≠C或者B≠D，则HomC(A，B) ∩HomC(C，D) =，对于f∈HomC(A，B)，g∈HomC(B，C)，h∈HomC(C，D)，(hg)f=h(gf)，对C的每个成员A，有一个元素1A∈HomC(A，A)，使得对每个f∈HomC(A，B)，g∈HomC(B，A)，flA=f，lAg=g，则称C是一个范畴，C的成员称为C的对象。例如，由所有的集合做成的类，以集合之间的映射作为态射，是它做成一个范畴Set。以群为对象，群同态为态射做成的范畴Grp等。一个范畴D称为范畴C的子范畴，如果D的对象都是C的对象，并且对于D的任意两个对象A，B，HomD(A，B)⊆Homc(A，B)。子范畴D称为满的，如果对于D的任意两个对象，HomD(A，B) =Honc(A，B)。范畴C称为一个小范畴，如果C是一个集合。

模范畴一种重要的范畴。指所有以模和模之间的同态组成的范畴。利用范畴的观点来讨论模和环是一种重要方法。若A是环，则所有的左A模组成的类和所有左A模M，N之间的模同态HomA(M，N)，以及模的同态的乘法运算法则构成一个范畴，称为左A模范畴，记为A-Mod。

半完全环介于完全环与半局部环之间的一类环。设J(R)是环R的雅各布森根，若R/J(R)是半单环，且R/J(R)的幂等元可提升为R的幂等元，则称R为半完全环。例如，左、右阿廷环、局部环都是半完全环。半完全环是左、右对称的，从同调论的观点看，R是半完全环意味着RR或RR是半完全模，即它们的任意同态像有投射包。半完全模和完全模是马雷斯(Mares，E.A.)在研究完全环的推广时引进的。半完全环还有以下的等价刻画：3

1.任意有限生成R左(右)模有投射包。

2.任意单R左(右)模有投射包。

3.存在R的完全正交幂等元集{e1，e2，…，en}使得eiRei是局部环。

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尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学